专题18同角三角函数基本关系式和诱导公式一、【知识精讲】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsinα－sinα－sinαsinαcosαcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinαtanαtanα－tanα－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”的终边所在的象限.二、常用结论汇总——规律多一点同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosα.二、【典例精练】考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα＝()A.－B.C.－D.【答案】B【解析】 <α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.（2）(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.【答案】－【解析】由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得sin(α＋β)＝－.【解法小结】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考点二诱导公式的应用例2.(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝________.【答案】【解析】α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)＝sinα＝.(2)设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝________.【答案】【解析】 f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝.【解法小结】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用例3.（1）已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sinα＝(α为锐角).（2）(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.【答案】－【解析】由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－.【解法小结】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.三、【名校新题】1.(2019·平顶山联考)已知＝5，则cos2α＋sin2α＝()A.B.－C.－3D.3【答案】A【解析】由＝5得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝.2.（2018黑龙江齐齐哈尔三模）在平面直角坐标系中，角与角都以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由角与角终边关于轴对称知Z，所以.故选A.3.(2019·衡水中学调研)若cos＝，则cos(π－2α)＝()A.B.C.－D.－【答案】D【解析】由cos＝，得sinα＝.∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2...
