课后作业(三十七)基本不等式一、选择题1．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋B．1＋C．3D．42．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．33．(2013·潍坊模拟)已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是()A．2B．2C．4D．54．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B．4C.D．55．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件6．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为()A．8B．9C．10D．12二、填空题7．(2012·安徽名校联考)若当x＞－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是________．8．若ab＝2且a＞0，b＞0，则3a＋32b的最小值为________．9．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．三、解答题10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．11．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.12.某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解析及答案一、选择题1．【解析】∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时等号成立，∴a＝3.【答案】C2．【解析】①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.【答案】B3．【解析】＋＋2≥2＋2≥4＝4.当，即a＝b＝1时，等号成立，因此＋＋2的最小值为4.【答案】C4．【解析】∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴(＋)＝(＋)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，又a＋b＝2，∴a＝时，＋有最小值.【答案】C5．【解析】＋＋＝，当abc＝1时，∴≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.故abc＝1⇒＋＋≤a＋b＋c.反过来，取a＝b＝1，c＝4有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．【答案】A6．【解析】α＋β＝(a＋b)＋＋＝(a＋b)＋＝5(a＋b)≥10＝10，当且仅当a＝b＝1时等号成立．【答案】C二、填空题7．【解析】设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，因为x＞－3，所以x＋3＞0，故f(x)≥2－3＝2－3.所以a的取值范围是(－∞，2－3]．【答案】(－∞，2－3]8．【解析】3a＋32b≥2·3，且a＋2b≥2＝4，上面两式当且仅当a＝2b时，等号同时取到，∴3a＋32b≥2·3≥2·32＝18，从而当a＝2b时，3a＋32b有最小值18.【答案】189．【解析】设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．【答案】20三、解答题10．【解】∵x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.11．【证明】＋＋＝＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9当且仅当a＝b＝c＝时取等号，∴＋＋≥9.12.【解】(1)设每件定价为x元，依题意得(8－×0.2)x≥25×8，整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解，∵＋x≥2x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
