专题限时集训(三)平面向量[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2016·泰安模拟)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋ADB[因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.]2．(2016·武汉模拟)将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝()A.B.C.D.A[由题意可得OB的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则OB＝，故选A.]3．(2016·临沂模拟)设a＝(，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°D[ 向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，∴x－3＝0，∴x＝，∴b＝(，－3)，a－b＝(0,4)，设向量b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，∴θ＝150°.]4．(2016·滨州模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是线段BC的中点，则AM·AO＝()图32A．3B．4C．5D．6C[ M是BC边的中点，∴AM＝(AB＋AC)． O是△ABC的外接圆的圆心，∴AO·AB＝|AB||AO|cos∠BAO＝|AB|2＝×(2)2＝6.同理可得AO·AC＝|AC|2＝×(2)2＝4，∴AM·AO＝(AB＋AC)·AO＝AB·AO＋AC·AO＝×(6＋4)＝5.]5．(2016·烟台模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()【导学号：67722018】A．－B.C.D．3C[由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB|＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝×cos30°＝，故选C.]二、填空题6．在如图33所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．图33[设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴则的值为.]7．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．[ AP⊥BC，∴AP·BC＝0，∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0. 向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，∴(λ－1)×3×2×cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]8．(2016·湖北七州联考)已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.－[ △ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO2＝1×1×cos60°－×1×cos30°－×1×cos30°＋2＝－.]三、解答题9．(2016·淄博模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求|OP|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．[解](1) m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，∴OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，∴|OP|＝＝2.4分(2) OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减，得m－n＝y－x.6分令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．[解](1)由BA·BC＝2得cacosB＝2.1分因为cosB＝，所以ac＝6.2分由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.4分因为a>c，所以a＝3，c＝2.6分(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，7分由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.8分因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.10分于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.12分[B组名校冲刺]一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．...
