专题限时集训(三)平面向量[建议A、B组各用时:45分钟][A组高考达标]一、选择题1.(2016·泰安模拟)在等腰梯形ABCD中,AB=-2CD,M为BC的中点,则AM=()A.AB+ADB.AB+ADC.AB+ADD.AB+ADB[因为AB=-2CD,所以AB=2DC.又M是BC的中点,所以AM=(AB+AC)=(AB+AD+DC)=(AB+AD+AB)=AB+AD,故选B.]2.(2016·武汉模拟)将OA=(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB,则OB=()A.B.C.D.A[由题意可得OB的横坐标x=cos(60°+45°)==,纵坐标y=sin(60°+45°)==,则OB=,故选A.]3.(2016·临沂模拟)设a=(,1),b=(x,-3),且a⊥b,则向量a-b与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°D[ 向量a=(,1),b=(x,-3),且a⊥b,∴x-3=0,∴x=,∴b=(,-3),a-b=(0,4),设向量b与a-b的夹角为θ,则cosθ===-,∴θ=150°.]4.(2016·滨州模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=2,A为钝角,M是线段BC的中点,则AM·AO=()图32A.3B.4C.5D.6C[ M是BC边的中点,∴AM=(AB+AC). O是△ABC的外接圆的圆心,∴AO·AB=|AB||AO|cos∠BAO=|AB|2=×(2)2=6.同理可得AO·AC=|AC|2=×(2)2=4,∴AM·AO=(AB+AC)·AO=AB·AO+AC·AO=×(6+4)=5.]5.(2016·烟台模拟)△ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足AO=(AB+AC),|AO|=|AC|,则向量BA在BC方向上的投影等于()【导学号:67722018】A.-B.C.D.3C[由AO=(AB+AC)可知O是BC的中点,即BC为外接圆的直径,所以|OA|=|OB|=|OC|.又因为|AO|=|AC|=1,故△OAC为等边三角形,即∠AOC=60°,由圆周角定理可知∠ABC=30°,且|AB|=,所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC=×cos30°=,故选C.]二、填空题6.在如图33所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为________.图33[设e1,e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=λ(xa+yb),∴e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,∴∴则的值为.]7.已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为________.[ AP⊥BC,∴AP·BC=0,∴(λAB+AC)·BC=0,即(λAB+AC)·(AC-AB)=λAB·AC-λAB2+AC2-AC·AB=0. 向量AB与AC的夹角为120°,|AB|=3,|AC|=2,∴(λ-1)×3×2×cos120°-9λ+4=0,解得λ=.]8.(2016·湖北七州联考)已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心,则OB·OC=__________.-[ △ABC是正三角形,O是其中心,其边长AB=BC=AC=1,∴AO是∠BAC的平分线,且AO=,∴OB·OC=(AB-AO)·(AC-AO)=AB·AC-AO·AC-AO·AB+AO2=1×1×cos60°-×1×cos30°-×1×cos30°+2=-.]三、解答题9.(2016·淄博模拟)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,n∈R).(1)若m=n=,求|OP|;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.[解](1) m=n=,AB=(1,2),AC=(2,1),∴OP=(1,2)+(2,1)=(2,2),∴|OP|==2.4分(2) OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴两式相减,得m-n=y-x.6分令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.12分10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA·BC=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.[解](1)由BA·BC=2得cacosB=2.1分因为cosB=,所以ac=6.2分由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.4分因为a>c,所以a=3,c=2.6分(2)在△ABC中,sinB===,7分由正弦定理,得sinC=sinB=×=.8分因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.10分于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.12分[B组名校冲刺]一、选择题1.(2016·石家庄一模)已知A,B,C是圆O上的不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若OC=λOA+μOB(λ∈R,μ∈R),则λ+μ的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C....