专题强化练七三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2018·烟台二模)已知cos＝，则cosx＋cos＝()A．－1B．1C.D.解析：因为cos＝，所以cosx＋cos＝cosx＋sinx＝sin＝cos(x－)＝1.答案：B2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.πB.C.D.解析：因为b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝＝，则cosA＝sinA.因为在△ABC中，所以A＝.答案：C3．(2018·广东六校第三次联考)已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sinθcosθ＋cos2θ＝()A.B.C.D.解析：因为sin＋3cos(π－θ)＝cosθ－3cosθ＝－2cosθ＝sin(－θ)＝－sinθ，所以tanθ＝2，则sinθcosθ＋cos2θ＝＝＝.答案：C4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.解析：因为S△ABC＝absinC，所以＝absinC.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC.得2abcosC＝2absinC，则tanC＝1.在△ABC中，C＝.答案：C5．(2018·合肥第一次教学质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π解析：已知bcosA＋acosB＝2，即2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R为△ABC的外接圆半径)．所以2Rsin(A＋B)＝2，即2RsinC＝2，又cosC＝，知sinC＝，所以2R＝＝6，R＝3.故△ABC外接圆面积为S＝πR2＝9π.答案：C二、填空题6．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．解析：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，①cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，②则①＋②得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1.所以sin(α＋β)＝－.答案：－7．在△ABC中，AC＝2，AB＝，C＝60°，则AB边上的高等于________．解析：如图所示，作CH⊥AB交AB于H，在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos60°，所以7＝BC2＋4－2BC，解得BC＝3(负值舍去)，又AC·BC·sin60°＝AB·CH，则3＝CH，故CH＝.答案：8．(2018·全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：由bsinC＋csinB＝4asinBsinC及正弦定理，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC≠0，所以sinA＝.由b2＋c2－a2＝8，得cosA＝＝＝.所以bc＝，故S△ABC＝bcsinA＝××＝.答案：三、解答题9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)因为角α的终边过点P(－，－)，得sinα＝－，cosα＝－，则sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±，由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.10．(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos，得asinB＝acos.则sinB＝cos，可得tanB＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.由bsinA＝acos，可得sinA＝.因为a＜c，故cosA＝.因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.11．(2018·石家庄模拟)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，AM＝MC.(1)求BM的长；(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范围．解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，代入数据，得cosC＝－.因为AM＝MC，所以CM＝MA＝AC＝1.在△CBM中，由余弦定理知，BM2＝CM2＋CB2－2CM·CB·cosC，代入数据，得BM＝.(2)设∠MBD＝θ，则∠DMB＝－θ，θ∈.在△BDM中，由正弦定理知，＝＝＝.所以BD＝sin，MD＝sinθ，所以BD＋MD＝sin＋sinθ＝(·cosθ－sinθ＋sinθ)＝cosθ.又θ∈，所以cosθ∈，＜cosθ＜.故BD＋MD的取值范围是.
