专题强化练七三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．－解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.答案：B2．(2018·湖南师大联考)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝6，b＝8，则c＝()A．4－2或4＋2B．4－2C．4＋2D．4解析：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－8c＋28＝0，即(c－4)2＝4.解得c＝4±2.答案：A3．(2018·广东六校第三次联考)已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sinθcosθ＋cos2θ＝()A.B.C.D.解析：因为sin＋3cos(π－θ)＝cosθ－3cosθ＝－2cosθ＝sin(－θ)＝－sinθ，所以tanθ＝2，则sinθcosθ＋cos2θ＝＝＝.答案：C4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.解析：因为S△ABC＝absinC，所以＝absinC.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC.得2abcosC＝2absinC，则tanC＝1.在△ABC中，C＝.答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A解析：等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB.等式左边＝2sinBcosC＋sinB，则2sinBcosC＋sinB＝sinAcosC＋sinB，因为角C为锐角三角形的内角，所以cosC不为0.所以2sinB＝sinA，根据正弦定理，得a＝2b.答案：A二、填空题6．(2018·全国卷Ⅱ)知tan＝，则tanα＝________．解析：法一因为tan＝，所以＝，解得tanα＝.法二因为tan＝，所以tanα＝tan＝＝＝.答案：7．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．解析：由正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinC·cosA＝sin(A＋C)＝sinB.所以2sinBcosB＝sinB，又sinB≠0，所以cosB＝，故B＝.答案：8．(2018·全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：由bsinC＋csinB＝4asinBsinC及正弦定理，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC≠0，所以sinA＝.由b2＋c2－a2＝8，得cosA＝＝＝.所以bc＝，故S△ABC＝bcsinA＝××＝.答案：三、解答题9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)因为角α的终边过点P(－，－)，得sinα＝－，cosα＝－，则sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±，由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.10．(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos，得asinB＝acos.则sinB＝cos，可得tanB＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.由bsinA＝acos，可得sinA＝.因为a＜c，故cosA＝.因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.11．(2018·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝C，4sinAsinB＝1－cos2B.(1)求sinA的值；(2)若△ABC的周长为5，求△ABC的面积．解：(1)因为4sinAsinB＝1－cos2B，所以4sinAsinB＝2sin2B，所以sinB(2sinA－sinB)＝0.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinB＝2sinA.所以b＝2a.又B＝C，所以c＝b＝2a.所以cosA＝＝＝.又因为0＜A＜π，所以sinA＝＝.(2)据(1)求解知，b＝c＝2a.又因为a＋b＋c＝5，所以a＝1，b＝c＝2.又据(1)求解知，sinA＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×2×＝.
