第1讲平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（）A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()．A.AO＝ODB.AO＝2ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD解析由2OA＋OB＋OC＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO＝OD.答案A4．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案D5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为三角形ABC的()．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析设AB的中点为M，则OA＋OB＝OM，∴OP＝(OM＋2OC)＝OM＋OC，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B6．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析由已知AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.∴AD∥BC，又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案C二、填空题7．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析 BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.答案－18.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝1，|AD|＝2，设AB＝a，BC＝b，BD＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋BD|＝|AB＋BD＋AD|＝|AD＋AD|＝2|AD|＝4.答案49．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形10．若M为△ABC内一点，且满足AM＝AB＋AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________．解析由题知B、M、C三点共线，设BM＝λBC，则：AM－AB＝λ(AC－AB)，∴AM＝(1－λ)AB＋λAC，∴λ＝，∴＝.答案三、解答题11．如图所示，△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a，b分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN.解AE＝b，BC＝b－a，DE＝(b－a)，DN＝(b－a)，AM＝(a＋b)，AN＝(a＋b)．12．(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明因为BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，所以BD＝BC＋CD＝10e1＋15e2.又因为AB＝2e1＋3e2，得BD＝5AB，即BD∥AB，又因为AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解DB＝CB－CD＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，AB＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则AB∥DB，设DB＝λAB，所以⇒k＝－8.13．如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值．解 AP＝NP－NA＝(BN－CN)＝(BN＋NC)＝BC，QA＝MA－MQ＝BM＋λMC，又 AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，即λMC＝MC，∴λ＝.14．已知O，A，B三点不共线，且OP＝mOA＋nOB，(m，n∈R)．...
