第4讲平面向量应用举例一、选择题1．△ABC的三个内角成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是()．A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.答案C2.半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(PA＋PB)·PC的值是()A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关解析(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2.答案A3.函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝()．A．4B．6C．1D．2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.答案B4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则AE·AF＝()．A.B.C.D.解析法一依题意，不妨设BE＝EC，BF＝2FC，则有AE－AB＝(AC－AE)，即AE＝AB＋AC；AF－AB＝2(AC－AF)，即AF＝AB＋AC.所以AE·AF＝·＝(2AB＋AC)·(AB＋2AC)＝(2AB2＋2AC2＋5AB·AC)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.法二由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，∴AE·AF＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.答案A5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为()．A．3B.C．2D.解析(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案B6．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，则CA在CB方向上的投影为()．A．1B．2C.D．3解析如图，由题意可设D为BC的中点，由OA＋AB＋AC＝0，得OA＋2AD＝0，即AO＝2AD，∴A，O，D共线且|AO|＝2|AD|，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴|AC|＝|AB|＝|OA|＝2，|AD|＝1，∴|CD|＝，∴CA在CB方向上的投影为.答案C二、填空题7.△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．解析 AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1， BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.答案38．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析 |a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.答案9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．答案610．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.答案三、解答题11．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点(1)·＝－，求sin2θ的值．(2)若|＋|＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．解(1)＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)．·＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－.∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2) ＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∴|＋|＝＝.即4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7.∴4cosθ＝2，即cosθ＝. －π<θ<0，∴θ＝－.又 ＝(0,2)，＝，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴〈，〉＝.12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈.(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；(2)若AC·BC＝－1，求的值．解(1) AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，∴AC2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，BC2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由|AC|＝|BC|，可得AC2＝BC2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα...
