2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程双基达标限时20分钟1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()．A．4B．5C．8D．10解析由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.答案D2．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()．A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.答案D3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()．A．a>3B．a<－2C．a>3或a<－2D．a>3或－6
3或－60是常数)．又∵|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案A8．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()．A．5B．4C．3D．1解析由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4，故选B.答案B9．若α∈(0，)，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴>>0.又∵α∈(0，)，∴sinα>cosα>0，∴<α<.答案(，)10．椭圆＋＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程＋＝1，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，∴|PF2|＝|y1|＝.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|＝4－|PF2|＝4－＝，即|PF1|＝7|PF2|.答案711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A·F2A＝0，而F1A＝(－4＋c，3)，F2A＝(－4－c，3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5，0)，F2(5，0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.12．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.∵A(1，0)，C(－1，0)，∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.故点M的轨迹方程为＋＝1.
