课时达标检测(四十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若B1F1·B1F2＝2，且CF1⊥B1F2.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x＝分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a2＝4，故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)得A1(－2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x0≠±2，则直线QA1的方程为y＝(x＋2)，与直线x＝的交点E的坐标为，，直线QA2的方程为y＝(x－2)，与直线x＝的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m≠，则HE⊥HF，从而kHE·kHF＝－1，即·＝－1，即＝－2，①由＋＝1得y＝.②所以由①②得m＝±1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2．(2018·江苏省淮安市高三期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：＋y2＝1的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q.(1)若AP＝PQ，求直线l的斜率；(2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．解：(1)依题意，椭圆C的左顶点A(－2,0)，设直线l的斜率为k(k＞0)，点P的横坐标为xP，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又椭圆C：＋y2＝1，②由①②得，(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，则－2·xP＝，从而xP＝.因为AP＝PQ，所以xP＝－1.所以＝－1，解得k＝(负值已舍)．(2)证明：设点N的横坐标为xN.结合(1)知，直线MN的方程为y＝kx.③由②③得，x＝.从而＝＝＝，即证．3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且AF·FB＝1，|OF|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1，又 AF·FB＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.∴a2＝2，b2＝1，故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.于是设直线l为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，x1＋x2＝－m，x1x2＝. MP·FQ＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.又yi＝xi＋m(i＝1,2)，∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.即2·－(m－1)＋m2－m＝0，解得m＝－或m＝1，当m＝1时，M，P，Q三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.二、重点选做题1．(2018·淮阴中学模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点A1，A2，B1，B2，SA1B2A2B1＝4，直线y＝x＋与圆O：x2＋y2＝b2相切．(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？若有求出其定点，若没有，说明理由．解：(1)因为直线y＝x＋与圆O相切，所以＝b，即b＝1，又因为SA1B2A2B1＝4，所以×2a×2b＝4，所以a＝2，所以椭圆C的方程：＋y2＝1，所以离心率e＝＝.(2)由(1)可知A1(－2,0)，B1(0，－1)，B2(0,1)，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为y＝kx＋1，由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，其中xB2＝0，所以xP＝－，所以P，则直线A1P的斜率kA1P＝＝－，直线A1P的方程为y＝－(x＋2)，令x＝0，则y＝－，即F，因为直线A1B1的方程为x＋2y＋2＝0，由解得所以E，所以EF的斜率k0＝＝－，所以直线EF的方程为y＝－x－，所以2k(x＋y＋1)－(y－1)＝0，所以可求定点为(－2,1)，即直线EF是过定点(－2,1)．2．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线y＝x＋m交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)．(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：△TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得＝，b＝1，又a2＝b2＋c2，所以a＝，c＝1，椭圆M的标准方程为＋y2＝1.(2)由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.由题意得，Δ＝16m2－24(m2－1)＞0，即...
