3个附加题专项强化练(三)二项式定理、数学归纳法(理科)1．已知函数f0(x)＝x(sinx＋cosx)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数，所以f1(x)＝f0′(x)＝(sinx＋cosx)＋x(cosx－sinx)＝(x＋1)cosx＋(x－1)(－sinx)，同理，f2(x)＝－(x＋2)sinx－(x－2)cosx.(2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cosx＋(x－3)sinx，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos，猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos.(*)下面用数学归纳法证明上述等式．(ⅰ)当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立．(ⅱ)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.则当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk′(x)＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]·＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]·cos，即当n＝k＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)·sin＋(x－n)cos成立．2．设1,2,3，…，n的一个排列是a1，a2，…，an，若ai＝i称i为不动点(1≤i≤n)．(1)求1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数；(2)记1,2,3，…，n的排列中恰有k个不动点的排列个数为Pn(k)，①求n(k)；②Pn(k)．解：(1)1,2,3,4,5的排列中恰有两个数不动，即为有两个ai＝i，另三个ai≠i，而三个数没有不动点的排列有2个，故1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数为2C＝20.(2)①在1,2,3，…，n的排列中分成这样n＋1类，有0个不动点，1个不动点，2个不动点，…，n个不动点，故n(k)＝n！.②由题设可知Pn(k)＝CPn－k(0)及组合恒等式kC＝nC得Pn(k)＝CPn－k(0)＝CPn－k(0)＝nPn－k(0)＝nP(n－1)－k(0)＝n！.3．已知(x2＋2x＋4)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2n(x＋1)2n(n∈N*)，令Tn＝ai.(1)求a0和Tn关于n的表达式；(2)试比较与(n－1)a0＋2n2的大小，并证明你的结论．解：(1)在(x2＋2x＋4)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2n(x＋1)2n中，令x＝－1，可得a0＝3n.对(x2＋2x＋4)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2n(x＋1)2n，两边同时求导得，n(2x＋2)(x2＋2x＋4)n－1＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋2na2n(x＋1)2n－1，令x＝0，则ai＝2n×4n－1，所以Tn＝2n×4n－1.(2)要比较与(n－1)a0＋2n2的大小，即比较4n与(n－1)3n＋2n2的大小．当n＝1时，4n＝4>(n－1)3n＋2n2＝2；当n＝2或3或4时，4n<(n－1)3n＋2n2；当n＝5时，4n>(n－1)3n＋2n2.猜想：当n≥5时，4n>(n－1)3n＋2n2.下面用数学归纳法证明．①由上述过程可知，当n＝5时，结论成立．②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时结论成立，即4k>(k－1)3k＋2k2，两边同乘以4，得4k＋1>4[(k－1)3k＋2k2]＝k·3k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－4)3k＋6k2－4k－2]，而(k－4)3k＋6k2－4k－2＝(k－4)3k＋6(k2－k－2)＋2k＋10＝(k－4)3k＋6(k－2)(k＋1)＋2k＋10>0，所以4k＋1>[(k＋1)－1]3k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．由①②可知，当n≥5时，4n>(n－1)3n＋2n2成立．综上所述，当n＝1时，>(n－1)a0＋2n2；当n＝2或3或4时，<(n－1)a0＋2n2；当n≥5时，>(n－1)a0＋2n2.4．在集合A＝{1,2,3,4，…，2n}中，任取m(m≤2n，m，n∈N*)个元素构成集合Am.若Am的所有元素之和为偶数，则称Am为A的偶子集，其个数记为f(m)；若Am的所有元素之和为奇数，则称Am为A的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．(1)当n＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值；(2)求F(m)．解：(1)当n＝2时，集合A＝{1,2,3,4}，当m＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f(1)＝2，g(1)＝2，F(1)＝0；当m＝2时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，f(2)＝2，g(2)＝4，F(2)＝－2；当m＝3时，偶子集有{1,2,3}，{1,3,4}，奇子集有{1,2,4}，{2,3,4}，f(3)＝2，g(3)＝2，F(3)＝0.(2)当m为奇数时，偶子集的个数f(m)＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，奇子集的个数g(m)＝CC＋CC＋…＋CC，所以f(m)＝g(m)，F(m)＝f(m)－g(m)＝0.当m为偶数时，偶子集的个数f(m)＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，奇子集的个数g(m)＝CC＋CC＋…＋CC，所...
