专题限时集训(八)平面向量(建议用时：45分钟)1．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．－3[ ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.]2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.【导学号：19592024】[ a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c，得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝.]3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝________.(1,1)[DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]4．△ABC中，AB边的高为CD.若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝________.(用a，b表示)a－b[如图， a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝.又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝.∴AD＝AB＝(a－b)＝a－b.]5．已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角大小为________．[令OA＝OA1，OB＝OB1，因为|OA|＝1，|OB|＝2，所以|OA1|＝|OB1|，由OC＝OA＋OB＝OA1＋OB1，得四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对的角，因此∠AOC＝.]6．如图7－8，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点．F为边AB上的点，且AB＝3AF，若AD＝xAF＋yAE，x，y∈R，则x＋y的值为________．图7－8[ D为BC的中点，∴BD＝BC＝(AC－AB)＝AC－AB，∴AD＝AB＋BD＝AB＋＝AB＋AC＝×3AF＋×2AE＝AF＋AE＝xAF＋yAE，∴x＝，y＝1，∴x＋y＝＋1＝.]7．如图7－9，在等腰三角形△ABC中，底边BC＝2，AD＝DC，AE＝EB，若BD·AC＝－，则CE·AB＝______.图7－9－[如图建立直角坐标系，设A(0，h)(h＞0)，则B(－1,0)，C(1,0)，由AE＝EB，AD＝DC，得E＝，D.则BD＝，AC＝(1，－h)，故BD·AC＝－＝－，h2＝4，h＝2，故CE＝，AB＝(－1，－2)，则CE·AB＝－.]8．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于________．[由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|，又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB|＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝×cos30°＝.]9．(2016·扬州期中)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，CA＝，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是________．－5[ AB＝1，BC＝2，CA＝，∴AB2＋BC2＝CA2，∴∠ABC＝90°，∴AB·BC＝0，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝CA(BC＋AB)＝CA·AC＝－AC2＝－5.]10．(2016·南京三模)如图7－10，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM＝2MD.若AC·BM＝－3，则AB·AD＝________.图7－10[ AC·BM＝－3，∴(AD＋DC)(AM－AB)＝－3，∴＝－3，∴|AD|2－AD·AB＋AB·AD－|AB|2＝－3，∴×9－AB·AD－×42＝－3，∴－AB·AD＝－1，∴AB·AD＝.]11．(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．[如图，设AB＝α，AC＝β，则BC＝β－α，又α与β－α的夹角为120°，∴∠ABC＝60°.又|AC|＝|β|＝1，由正弦定理得＝，∴|α|＝sinC≤，∴|α|∈.]12．(2016·南京盐城二模)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且BD＝2DC，AD＝，则AC的长为________．【导学号：19592025】3[如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，点D在BC上，BD＝2DC，∴BD＝AD－AB，DC＝AC－AD，∴AD－AB＝2(AC－AD)，∴3AD＝2AC＋AB，∴9AD2＝4AC2＋AB2＋4AC·AB.又|AD|＝，代入化简得：|AC|2－2|AC|－3＝0，解得|AC|＝3或－1(舍去)．]13．(2016·江苏高考)如图7－11，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．图7－11[由题意，得BF·CF＝(BD＋DF)·(CD＋DF)＝(BD＋DF)·(－BD＋DF)＝DF2－BD2＝|DF|2－|BD|2＝－1，①BA·CA＝(BD＋DA)·(CD＋DA)＝(BD＋3DF)·(－BD＋3DF)＝9DF2－BD2＝9|DF|2－|BD|2＝4.②由①②得|DF|2＝，|BD|2＝.∴BE·CE＝(BD＋DE)·(CD＋DE)＝(BD...
