专题限时集训(十九)高考中的圆锥曲线(建议用时：45分钟)1．(2014·江苏高考)如图18－5，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.图18－5(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．[解]设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.3分因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.6分(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.10分又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝，因此e＝.16分2．(2016·南通二调)如图18－6，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足OP＝2AO.图18－6(1)若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；(2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且BP＝mBC，直线OA，OB的斜率之积为－，求实数m的值．【导学号：19592055】[解](1)因为OP＝2AO，而P(2，)，所以A.3分代入椭圆方程，得＋＝1，①又椭圆的离心率为，所以＝，②由①②，得a2＝2，b2＝1，故椭圆的方程为＋y2＝1.6分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，因为OP＝2AO，所以P(－2x1，－2y1)．因为BP＝mBC，所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝m(x3－x2，y3－y2)，即于是10分代入椭圆方程，得＋＝1，即＋－·＝1，③14分因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1.④因为直线OA，OB的斜率之积为－，即·＝－，结合②知＋＝0.⑤将④⑤代入③，得＋＝1，解得m＝.16分3．(2016·江苏高考)如图18－7，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．图18－7(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．[解](1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，3分由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.6分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)10分因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.方程(*)的两根为y1,2＝－p±，从而y0＝＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.12分因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.因此，p的取值范围是.16分4．如图18－8，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．图18－8(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．[解](1)依题意，OB＝8，∠BOy＝30°，设B(x，y)，则x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.6分(2)证明：法一：由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q.10分设M(0，y1)，令MP·MQ＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于MP＝(x0，y0－y1)，MQ＝，由MP·MQ＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).16分法二：由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得10分所以Q.取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，－1)；取x0＝1，此时P，Q，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交y轴于M3(0,1)或M4....
