课时跟踪检测（四十二）空间向量的综合应用一保高考，全练题型做到高考达标1.(2019·海安检测)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角AB1EA1的大小为30°，求AB的长．解：(1)证明：以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，B1E＝. B1E·AD1＝0＋1－1＝0，∴B1E⊥AD1，即B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)．由(1)知，AB1＝(a,0,1)，AE＝.设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．则即取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝.又 DP⊄平面B1AE，∴在棱AA1上存在一点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1.∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1)．则cos〈n，AD1〉＝＝. 二面角AB1EA1的大小为30°，∴＝，解得a＝2，即AB的长为2.2．(2018·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是线段PC的中点．(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；(2)若点F在线段PB上，且使得二面角FDEB的正弦值为，求的值．解：(1)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以{DA，DC，DP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，不妨设DA＝DC＝DP＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，所以AP＝(－2,0,2)，BE＝(－2，－1,1)，所以cos〈AP，BE〉＝＝，从而〈AP，BE〉＝.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知，DP＝(0,0,2)，DE＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，PB＝(2,2，－2)．设PF＝λPB，则PF＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF＝DP＋PF＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，则即取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量，设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量，则即取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量．因为二面角FDEB的正弦值为，所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为，即|cos〈m，n〉|＝＝＝，化简得4λ2＝1.因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，所以λ＝，即＝.3．(2018·常州期末)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；(2)求二面角CB1AB的余弦值．解：(1)取A1D1的中点E，因为D1A＝D1D，所以D1A＝A1A，所以AE⊥A1D1.又A1D1∥AD，所以AE⊥AD.因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD，侧面ADD1A1∩底面ABCD＝AD，AE⊂侧面ADD1A1，所以AE⊥平面ABCD.则以A为原点，以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，－1,1)，设F(a，b,0)，则D1F＝(a，b－1，－1)，AC＝(1,1,0)，AB1＝(1，－1,1)，因为D1F⊥平面AB1C，所以即得a＝b＝，所以F，即F为AC的中点．所以存在AC的中点F，使D1F⊥平面AB1C.(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1＝D1F＝.设平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)，因为AB＝(1,0,0)，所以即令y＝1，得n2＝(0,1,1)．则cos〈n1，n2〉＝＝－.由图知二面角CB1AB为锐角，所以二面角CB1AB的余弦值为.4．(2019·苏北四市一模)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．(1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠...
