2.3一元二次方程根的判别式1．理解一元二次方程的根的判别式，掌握b2－4ac与一元二次方程根之间的关系．2．不解方程，会利用根的判别式，判断一元二次方程的根的情况．3．通过根的判别式的学习，培养学生观察、归纳的能力，感受分类讨论的数学思想．自学指导阅读教材第43至44页的部分，完成以下问题.问题1一元二次方程的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)．问题2用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－1＝0；(2)x2－2x＋3＝0；解：∵b2－4ac＝12－4×2×(－1)＝9,解：∵b2－4ac＝0，∴x＝＝.∴x＝＝.∴x1＝x2＝－1.∴x1＝x2＝.(3)2x2－2x＋1＝0.解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝－4，∴此方程无解．知识探究观察上面的问题2，一元二次方程的根有哪几种情况？方程(1)的两个实数根不相等(填“相等”或“不相等”)；方程(2)的两个实数根相等(填“相等”或“不相等”)；方程(3)无实数根(填“有”或“无”)．归纳：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac确定，我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式(通常用“Δ”来表示)．当b2－4ac＞0时有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；当b2－4ac＝0时有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；当b2－4ac＜0时无实数根．自学反馈不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x2－3x＋4＝0；解：∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23，∴原方程无解．②y2＝1－3y；③4x(1－x)＝1.解：原方程可化为解：原方程可化为y2＋3y－1＝0,4x2－4x＋1＝0，∴b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13.∴b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0.∴原方程有两个不相等的实数根.∴原方程有两个相等的实数根．例1方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根例2已知方程的根的情况，求字母的取值(或取值范围)．(1)m取什么值时，关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(m－2)＝12－4m，又∵方程有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0，即12－4m＝0，解得m＝3.(2)已知关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：∵b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k，又∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac>0，即4＋4k>0，解得k>－1.活动2跟踪训练1.（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根2.（2015•河池）下列方程有两个相等的实数根的是（C）A．x2+x+1=0B．4x2+2x+1=0C．x2+12x+36=0D．x2+x﹣2=03．下列一元二次方程中无实数解的方程是(B)A．B．C．D．4.（2015•宁夏）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（D）A．m≥B．m≤C．m≥D．m≤5.若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k=±6．6.请写出一个值k=10（答案不唯一，k取满足k＜的值即可），使一元二次方程x2﹣7x+k=0有两个不相等的非0实数根．7.如果关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0有实数根，那么k的取值范围是k≥．8．关于x的一元二次方程﹣x2+(2m+1)x+1﹣m2=0无实数根，则m的取值范围是m＜．9.不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)5x2＋2x－6＝0；(2)9y2＋1＝6y；(3)3(x2+1)－2x＝0；(4)(x－2)(x+2)+x(x+6)+5＝0．解：(1)a=5，b=2，c=-6，因为b2－4ac=4-4×5×(-6)>0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)9y2-6y+1=0，a=9，b=-6，c=1，因为b2－4ac=(-6)2-4×9×1=0，所以原方程有两个相等的实数根．(3)3x2－2x+3=0．a=3，b=-2，c=3，因为b2－4ac=(-2)2-4×3×3<0，所以原方程霰无实数根．(4)2x2+6x+1=0．a=2，b=6，c=1，因为b2－4ac=62-4×2×1＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c值，再判断Δ的正负.活动3课堂小结运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，再计算b2－4ac的值，从而确定根的情况．教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.
