平面几何辅助线方法技巧系列讲座角平分线使用部分一、三角形中给出三条角平分线的应用。例1.已知如图，点O为△ABC的三条角平分线BE、AD、CF的交点，OG⊥BC，G点为垂足，⑴求证：∠COG=∠DOB。⑵设AB=c，BC=a，AC=b，OG=d，用含a、b、c、d的代数式表达△ABC的面积。例2.已知如图，点O为△ABC的两角平分线BD、CE交点，如果∠DOC=∠CAB，求∠CAB的度数。二、以角平分线为轴，翻折图形的思考。例3：已知如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，DC=BC，求证：∠B+∠D=180°。证法⑴：在AB上取一点D＇，使AD＇=AD，连结CD＇。证法⑵：在AD延长线上取一点B＇，使AB＇=AB，连结CB＇。证法⑶：作CM⊥AB，交AB于点M，CN⊥AD，交AD延长线于点N。例4：已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E为AB上一点，DE平分∠CDA，CE平分∠BCD，求证：AD+BC=CD。方法⑴在CD上取一点F，使CF=CB，连EF。方法⑵在DC上取一点M，使DM=AD，连EM。方法⑶在DA延长线上取一点F，使DF=DC，连EF。方法⑷在CB延长线上取一点F，使CF=CD，连EF。三、“角平分线平行线，等腰三角形出现”例5.已知如图，点D为△ABC的一个内角和一个外角的平分线交点，DE∥AB，交AC于点E，交BC于点F，求证：AE=EF+BF。例6.已知如图，点D为△ABC的外角平分线CD、BD的交点，DE∥AB交BC的延长线于点E，交AC的延长线于点F。求证：AF+EF=CE+BC。证明：连AD，作DM⊥AB，交AB延长线于点M，作DN⊥BC交BC于点N，作DP⊥AF交AF延长线于点N，先证AF=DF，再证DE=BE。四、利用角平分线的性质和判定例7.已知如图，点E为正方形ABCD的外角平分线上一点，点F为BC上一点，AF=FE。求证：AF⊥FE。证明：连AC，作FM⊥AC，M为垂足，FN`⊥EC，点N为垂足（也可用其他方法，读者自己完成）例8.如图，已知点E为正方形ABCD的外角平分线上一点，点F为BC延长线上一点，AF⊥FE，求证AF=FE。证明：连结AC，作FM⊥AC交AC延长线于点M，FM⊥CE交CE于点N。例9.已知如图，点E为正方形ABCD的外角平分线上一点，点F为CB延长线上一点，AF⊥FE，求证：AF=FE。例10.点E为正方形ABCD的对角线BD上一点，点F为BC上一点AE⊥EF，⑴求证：AE=EF。⑵当E＇在DB延长线上时，点F＇在CB延长线上，若AE＇⊥E＇F＇，AE＇=E＇F＇，是否还成立，加以证明。例11.已知如图，点E为△ABC的AC边中线BD上一点，点F在CB延长线上，点G在BA延长线上，若∠FEG=120°，求证：EF=EG。证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N。例12．如图已知△ABC中，∠BAC=45°，AD为△ABC的角平分线，以点D为顶点作∠BDE=45度，DE交BA延长线于点E，求证：DE=DC。证明：作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N。例13.如图，点E为等腰△ABC的底边上的高AD上一点，点F、G分别为BA、AC延长线上的点，若EF=EG，求证：∠FEG=2∠B。证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N。例14.已知如图，点E为正方形ABCD的对角线BD延长线上一点，点F为BC延长线上一点，AE=EF（点F与点C不重合），求证：EF⊥AE。证明：作EM⊥AB交BA延长线于点M，EN⊥BF交BF于点N。例15.已知点O为直线AB上一点，CO⊥AB于点O，OD平分∠COB，若AD=CD，求证：AD⊥CD。证明：作DM⊥AB于点M，DN⊥OC于点N。例16．已知如图。在直角直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（1，1），连AB，CB⊥AB于点B，交y轴于点C，求BC线段的长度。解：作BM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，证△BCN≌△BAM。
