角的平分线（一）本课目标1．掌握角的平分线性质定理和判定定理，并能运用这两个定理证明线段相等和角相等．2．提高学生对角平分线性质和判别在实际生活中的应用能力．3．从对角平分线上的点的“纯粹性”与“完备性”两方面的考察中，产生几何图形美的情感体验．（二）教学流程1．情境导入现有如图所示的三条公路L1，L2，L3，要想在三条公路围成的区域内建一个加油站，使它到每条公路的距离都相等．你能找到这个位置吗？2．课前热身在这个问题中，每两条公路都形成有夹角，让我们很容易联系到以前学过的角平分线上的点到角两边的距离相等这条性质．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？引导学生阅读课本第37页，回顾画图、对折、观察的方法．3．合作探究（1）整体感知请同学们用逻辑推理的方法来加以证明．将这个命题画出图形，写出已知、求证．（2）四边互动互动1师：这是证明线段相等的问题．我们有哪些方法可以证明线段相等？生：等角对等边，还有全等三角形对应边相等．师：归纳得很好．我们就借鉴这个思路，证明哪两个三角形全等呢？生：△PDO与△PEO．师：怎样证全等？生：可以通过A．A．S．的判定方法．（略）师：于是得到了角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法．互动2师：反过来，到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们也可通过“证明”来回答这个问题．生：（画出图形，写出已知、求证）师：为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以画射线OQ，证明OQ平分∠AOB，即证：∠BOQ=∠AOQ．又如何得到两个角相等呢？生：也可以通过证明三角形全等来证．由H．L定理可证出△DOQ≌△EOQ，于是∠BOQ=∠AOQ．师：很好．这样就有角平分线的判定定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．明确巩固利用三角形全等来证明角相等的方法．例：已知：如图所示，△ABC中，AD、BE、CF分别是三条角平分线．求证：AD、BE、CF交于一点．证明：设AD、BE交于一点O，作OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，OI⊥AB于I．则有：OG=OI=OH（角平分线上点到两边距离相等）因为：OG=OH所以：O点也在∠C的平分线上（到角两边距离相等点在这个角的平分线上），即在CF上，也就是AD、BE、CF交于一点．明确此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上．师：通过这道例题的证明，我们知道了三角形三条内角平分线必交于一点，这一点称为三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等．利用这个性质，我们再回头来回答开始提出的那个问题．生：（略）4．达标反馈（1）判断题①P为∠AOB内一点，C在OA上，D在OB上，若PC=PD，则OP平分∠AOB．（×）②到角的两边距离不相等的点一定不在角平分线上．（∨）③三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等．（×）（2）填空题①P在∠MON的平分线，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA+PB=12，则PA=6，PB=6．②如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD：DC=3：4，点D到AB的距离为12，则BC=21．（3）证明题①如图所示，P为∠AOB内一点，OA=OB且△OPA与△OPB的面积相等，求证：∠AOP=∠BOP．（提示：作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，通过面积相等，高相等证明PC=PD即可）②△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线交于点F，求证：AF平分∠BAC．（提示：作FG⊥BD于G，FH⊥BC于H，FI⊥CE于I，证明FG=FH=FI由△AGF≌△AIF即可）5．学习小结（1）引导学生作知识总结：角平分线的性质定理与判定定理的内容，怎样找到三角形的内心，它有什么性质．（2）教师扩展：利用两个定理证明线段相等、角相等，不用再证全等，可简化解题过程．（三）延伸拓展1．链接生活在开头提出的问题中，若不限制在三条公路围成的区域内，那么符合条件的加油站的位置应该有几处？请画图加以证明．2．巩固练习（1）如图所示，已知：AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC中点，试问：AD、BC、AB之间有何关系？并证明你的结论．（提示：作EF⊥AB于F，连结BE，证DE=EF=EC即得证AB=AD+BC）（2）在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一点，AE⊥CD于E，且AE=DC...
