专题十六不等式选讲探考情悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(2)会利用绝对值的几何意求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.2019课标Ⅱ,23,10分2018课标Ⅰ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的恒成立、参数取值范围的问题不等式的性质和解法★★★2017课标Ⅰ,23,10分2017课标Ⅲ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的存在性、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2016课标Ⅰ,24,10分画绝对值函数的图象,解绝对值不等式不等式的性质和解法2.不等式的证明2019课标Ⅰ,23,10分2019课标Ⅲ,23,10分不等式的证明基本不等式(3)了解证明不等式的基本法:比较法、综合法、分析2017课标Ⅱ,23,10分分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)≤2的解集为A,集合B={x|-2
32对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2,又 a>0,∴-1a≤x≤3a,得A=[-1a,3a]. B={x|-2-2,3a<2,解得{a>12,a>32,∴a>32.∴a的取值范围是(32,+∞).(4分)(2)由题意,得|ax-1|+|x+1|>32对一切实数x恒成立,设h(x)=|ax-1|+|x+1|,因为a>0,所以h(x)={-(a+1)x,x<-1,(1-a)x+2,-1≤x≤1a,(a+1)x,x>1a,(6分)所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增,(7分)①当032,∴121时,h(x)在[-1,1a]上单调递减,h(x)min=h(1a)=1a+1>32,∴1f(x)min,f(x)={2x-2,x>3,4,-1≤x≤3,2-2x,x<-1,绘制函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a的取值范围是(4,+∞).(2)由题意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a的解,所以a=|72+1|+|72-3|=5,求解绝对值不等式|x+1|+|x-3|<5可得-321.当x<-1时,由-2x≤2❑√3,得x≥-❑√3;当-1≤x≤1时,f(x)=2≤2❑√3;当x>1时,由2x≤2❑√3,得x≤❑√3.所以M=[-❑√3,❑√3].(2)证明:当a,b∈M,即-❑√3≤a,b≤❑√3时, 3(a+b)2-(3+ab)2=3(a2+2ab+b2)-(9+6ab+a2b2)=(a2-3)(3-b2)≤0,∴3(a+b)2≤(3+ab)2,∴❑√3|a+b|≤|3+ab|.2.(2019河南郑州二模,23)关于x的不等式|x-2|x+2的解集;(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)={-2x+1(x<-1),3(-1≤x<2...
