第19练平面向量中的线性问题[题型分析·高考展望]“”平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的双重特性，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点．多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC答案A解析 BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.2．(2016·课标全国甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m等于()A．－8B．－6C．6D．8答案D解析由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.3．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－答案B解析 n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.4．(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.答案－解析MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，∴x＝，y＝－.高考必会题型题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.B.C.D.(2)已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.答案(1)D(2)解析(1)设CO＝yBC， AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC. BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈， AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x＝－y，∴x∈.(2)因为AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，所以CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.点评平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD＝λAB＋kAC，则λ＋k等于()A．1＋B．2－C．2D.＋2(2)在△ABC中，GA＋GB＋GC＝0，CA＝a，CB＝b.若CP＝ma，CQ＝nb，CG∩PQ＝H，CG＝2CH，则＋＝________.答案(1)A(2)6解析(1)根据向量的基本定理可得，AD＝AC＋CD＝AC＋(ED－EC)＝AC＋(AC－BC)＝AC＋AC－(AC－AB)＝·AC＋AB，所以λ＝，k＝1＋，所以λ＋k＝1＋.故选A.(2)由GA＋GB＋GC＝0，知点G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则CH＝CG＝CD＝(CA＋CB)＝CP＋CQ，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点A(－3,0)，B(0，)，点O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________．答案1解析由题意知OA＝(－3,0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°，知∠xOC＝150°，∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.解①由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，∴得②a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， (a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－.③设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则...
