高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题4 三角函数与平面向量 第20练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型 文-人教版高三数学试题VIP免费

第20练关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望]平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查．体验高考1．(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于()A．－a2B．－a2C.a2D.a2答案D解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a2×＝a2.2．(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π答案A解析由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又 |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝.又 0≤θ≤π，∴θ＝.3．(2015·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2答案B解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.4．(2016·课标全国乙)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.答案－2解析由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.5．(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则BP·BA的取值范围是________．答案[0,1＋]解析由题意知y＝表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设P(cosα，sinα)，α∈[0，π]，BA＝(1,1)，BP＝(cosα，sinα＋1)所以BP·BA＝cosα＋sinα＋1＝sin(α＋)＋1∈[0,1＋]BP·BA的范围为[0,1＋]．高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM等于()A．20B.15C．9D．6(2)(2015·福建)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B．15C．19D．21答案(1)C(2)A解析(1)AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，故选C.(2)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17≤－17－2＝13，故选A.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b“的乘积写法不同，不应该漏掉其中的·”．(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.变式训练1在△ABC中，AD⊥AB，BC＝2BD，|AD|＝1，则AC·AD等于()A．2B.C.D.答案A解析在△ABC中，BC＝2BD，所以AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝(AB＋2BD)·AD，又因为BD＝AD－AB，所以AC·AD＝[(1－2)AB＋2AD]·AD＝(1－2)AB·AD＋2AD·AD＝(1－2)AB·AD＋2AD2，因为AD⊥AB，所以AD⊥AB，所以AD·AB＝0，所以AC·AD＝(1－2)×0＋2×1＝2，故选A.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.B.C.D．0(2)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案(1)B(2)D解析(1)设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S＝(xi·yi)，则S有以下三种情况：①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2. |b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2...