（通用版）2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第5讲圆锥曲线中的定点、定值与范围考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2015·高考全国卷Ⅱ，12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．(选修2－1P41例3)如图，设点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程.(选修2－1P49A组T8)已知椭圆＋＝1，一组平行直线的斜率是.(1)这组直线何时与椭圆相交？(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．考题源于教材，高于教材，将例题与教材中的习题有机的结合，整合出高质量的综合性试题，这样命制出的试题既能体现对考生的背景公平，又能考查考生的综合分析问题、解决问题的能力.[教材变式训练][变式1](选修2－1P49A组T8改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，两个顶点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为的一组平行线与椭圆相交，求证：这些直线被椭圆截得的线段的中点，在同一条定直线上．解：(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的顶点分别为A1(－b，0)，A2(b，0)，B1(0，－a)，B2(0，a)．∴|A1A2|＝2b，|B1B2|＝2a，|A1B1|＝，∵a>b>0，e＝，则a2＝b2，∵|B1B2|>|A1A2|，∴|A1B1|＝＝b<2b，∴两个顶点的距离的最小值为b＝，∴b＝2，则a＝3.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：设这组平行线的方程为y＝x＋m，代入椭圆＋＝1得9x2＋6mx＋2m2－18＝0，∵Δ＝36m2－36(2m2－18)≥0，∴－3≤m≤3，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，线段AB的中点为M(x，y)，则x＝＝－，因为M在直线y＝x＋m上，与x＝－联立得3x＋2y＝0，即这些线段的中点在定直线3x＋2y＝0上．[变式2](选修2－1P50B组T3改编)设椭圆C方程：＋＝1，直线l：x＝4，点P是椭圆上的动点，椭圆C的右焦点为F，P到l的距离为d，(1)是否存在常数λ，使得|PF|＝λd恒成立，若存在，求出λ的值．若不存在，说明理由；(2)求|PF|的取值范围．解：(1)如图，设P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的动点，F(2，0)，∴＋＝1，|PF|＝，d＝|x0－4|.假设存在常数λ，使|PF|＝λd，则λ＝＝＝＝，∴存在常数λ＝，使得|PF|＝λd恒成立．(2)由(1)知|PF|＝|x0－4|，∵P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，∴－2≤x0≤2，∴2－2≤|PF|≤2＋2.[变式3](选修2－1P73A组T6改编)过点(4，0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB，(1)求抛物线C的方程；(2)求△OAB面积的最小值．解：(1)设直线l的方程为x＝my＋4，代入y2＝2px得y2－2pmy－8p＝0，Δ＝4p2m2＋32p>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－8p，①又∵OA⊥OB，∴OA·OB＝0，即x1x2＋y1y2＝0，(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0，②把①代入②得(m2＋1)(－8p)＋4m×2pm＋16＝0，∴8p＝16，即p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)知y2－4my－16＝0，y1y2＝－16，y1＋y2＝4m，∴|AB|＝＝＝＝＝4，∵原点O到l的距离d＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝×4·＝8≥16，当且仅当m＝0时，△OAB的面积取得最小值16.[变式4](选修2－1P70例5改编)如图，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A、B两点，且A、B两点在准线上的射影分别为M，N.(1)求证：∠MFN＝90°；(2)记△AMF，△MNF，△BNF的面积分别为S1，S2，S3，求证：为定值．证明：(1)∵抛物线C：y2＝2px(p>0)，∴抛物线C的焦点F的坐标为，设直线l的方程为x＝my＋，代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，∴M，N的坐标分别为M，N，∴FM·FN＝(－p，y1)·(－p，y2)＝p2＋y1y2＝0，∴FM⊥FN，所以∠MFN＝90°.(2)由(1)知，S＝＝(y1－y2)2p2＝[(y1＋y2)2－4y1y2]p2＝(m2＋1)p4，S1·S3＝＝|y1y2|＝·|－p2|，又∵x＝my＋，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋＋＝2pm2＋p，x1x2＝＝，∴S1·S3＝·p2＝(m2＋1)p4，∴＝＝4，即为定值4.
