高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第5讲 圆锥曲线中的定点、定值与范围专题强化训练 理-人教版高三数学试题VIP免费

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第5讲圆锥曲线中的定点、定值与范围专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1．已知抛物线y2＝4x，过点M(0，2)的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设MA＝αAC，MB＝βBC，试问α＋β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)证明：设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，联立方程得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.①|MA|·|MB|＝＝＝(1＋k2)x1x2＝，|MC|2＝(－)2＋22＝，所以|MC|2＝|MA|·|MB|，即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列．(2)由MA＝αAC，MB＝βBC，得(x1，y1－2)＝α(－－x1，－y1)，(x2，y2－2)＝β(－－x2，－y2)，即α＝－，β＝－，则α＋β＝.将①代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值且定值为－1.2．已知动圆过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点F(1，0)的直线交轨迹C于A，B两点，交它的准线于点N，已知NA＝λ1AF，NB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2为定值．解：(1)设动圆圆心为O1(x，y)，当O1不在y轴上时，有|O1M|＝|O1A|，＝，化简整理可得y2＝4x(x≠0)；当O1在y轴上时，O1即为O，则O(0，0)也满足方程y2＝4x.∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)证明：设直线AB的方程为x＝my＋1，则N(－1，－)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y2－4my－4＝0，∴.由NA＝λ1AF，NB＝λ2BF可知y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，则λ1＝－1－，λ2＝－1－.∴λ1＋λ2＝－2－2(＋)＝－2－·＝－2－·＝0.3．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知定点A(4，2)，B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点．解：(1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y，故所求E的方程为x2＝8y.(2)证明：设直线BC：y＝kx＋b，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将直线BC：y＝kx＋b代入到x2＝8y中得，x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.又AB＝(x1－4，y1－2)，AC＝(x2－4，y2－2)，所以AB·AC＝(x1－4)(x2－4)＋(y1－2)(y2－2)＝(x1－4)(x2－4)＋(kx1＋b－2)(kx2＋b－2)＝(k2＋1)x1x2＋[k(b－2)－4](x1＋x2)＋(b－2)2＋16＝－8b(k2＋1)＋8k[k(b－2)－4]＋(b－2)2＋16＝b2－12b－16k2－32k＋20＝(b－6)2－16(k＋1)2＝0，故b＝4k＋10或b＝－4k＋2，所以直线BC恒过定点(－4，10)．4．已知A(－2，0)、B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．解：(1)由题意可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，F(c，0)．易知a＝2，b＝，c＝1.故椭圆C的方程为＋＝1，离心率为.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)．则点D的坐标为(2，4k)，BD的中点E的坐标为(2，2k)．由，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.设点P的坐标为(x0，y0)，则－2x0＝.所以x0＝，y0＝k(x0＋2)＝.点F的坐标为(1，0)，当k＝±时，点P的坐标为(1，±)，点D的坐标为(2，±2)．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆(x－2)2＋(y∓1)2＝1与直线PF相切．当k≠±时，则直线PF的斜率kPF＝＝，所以直线PF的方程为y＝(x－1)．点E到直线PF的距离d＝＝＝2|k|.又因为|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．5．已知椭圆C的两个焦点是(0，－)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求AG·HB的最小值．解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由题意得c＝，2a＝＋＝4，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1.∴右顶点F的坐标为(1，0)．设抛物线E的...