能力升级练(十一)空间向量与空间几何体一、选择题1.(2019山东烟台模拟)已知向量a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),则a·b=2,则x的值为()A.3B.4C.5D.6解析因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),所以a·b=-3+2x-5=2,解得x=5.答案C2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°解析设直线l与平面α所成的角为β,直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ=|cosγ|=|cos120°|=12.又0°≤β≤90°,∴β=30°.答案C3.(2019湖北黄冈模拟)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于()A.32B.-2C.0D.32或-2解析 a∥b,∴2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.答案B4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.❑√34a2解析如图,设⃗AB=a,⃗AC=b,⃗AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.⃗AE=12(a+b),⃗AF=12c,∴⃗AE·⃗AF=12(a+b)·12c=14(a·c+b·c)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.答案C5.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值为()A.3-2❑√25B.2-❑√26C.12D.❑√32解析因为⃗BC=⃗AC−⃗AB,所以⃗OA·⃗BC=⃗OA·⃗AC−⃗OA·⃗AB=|⃗OA||⃗AC|cos<⃗OA,⃗AC>-|⃗OA||⃗AB|cos<⃗OA,⃗AB>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-16❑√2+24.所以cos<⃗OA,⃗BC>=⃗OA·⃗BC|⃗OA||⃗BC|=24-16❑√28×5=3-2❑√25.即OA与BC所成角的余弦值为3-2❑√25.答案A6.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成角大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).∴⃗AC=(1,1,0),⃗B1D=(-1,1,-1), ⃗AC·⃗B1D=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,∴⃗AC⊥⃗B1D,∴AC与B1D所成的角为π2.答案D7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()A.❑√32B.❑√33C.❑√53D.❑√63解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2).所以⃗AC=(2,4,0),⃗AM=(0,2,2),⃗CD=(-2,0,0).设平面ACM的一个法向量n=(x,y,z),由n⊥⃗AC,n⊥⃗AM,可得{2x+4y=0,2y+2z=0,令z=1,得n=(2,-1,1).设所求角为α,则sinα=|⃗CD·n|⃗CD||n||=❑√63.答案D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A.12B.23C.❑√33D.❑√22解析以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),∴⃗A1D=(0,1,-1),⃗A1E=(1,0,-12).设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则有{⃗A1D·n1=0,⃗A1E·n1=0,即{y-z=0,1-12z=0,∴{y=2,z=2,∴n1=(1,2,2). 平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos=23×1=23,由图形知平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为23.答案B9.(2019山东日照模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.❑√32B.❑√22C.2❑√23D.2❑√33解析如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),⃗D1A1=(2,0,0),⃗DB=(2,2,0),⃗DA1=(2,0,2),设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则{n·⃗DA1=0,n·⃗DB=0,∴{2x+2z=0,2x+2y=0,令z=1,得n=(-1,1,1).∴D1到平面A1BD的距离d=|⃗D1A1·n||n|=2❑√3=2❑√33.答案D二、填空题10.如图所示,在四面体OABC中,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则⃗OE=(用a,b,c表示).解析⃗OE=⃗OA+⃗AE=a+12⃗AD=a+12¿)=12a+12⃗OD=12a+12×12¿)=12a+14b+14c.答案12a+14b+14c11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin<⃗CM,⃗D1N>的值为.解析如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体棱长为2,则易得⃗CM=(2,-2,1),⃗D1N=(2,2,-1),∴cos<⃗CM,⃗D1N>=⃗CM·⃗D1N|⃗CM||⃗D1N|=-19,∴sin<⃗CM,⃗D1N>=❑√1-(-19)2=4❑√59.答案4❑√5912.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直...
