规范解答集训(四)立体几何(建议用时：40分钟)1.(2019·烟台三模)如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧BD所在平面相交于BD，AB＝BD＝2，E，F分别为AD，BD的中点，C是BD上异于B，D的点，EC＝.(1)证明：平面CEF⊥平面BCD；(2)若点C为半圆弧BD上的一个三等分点(靠近点D)求二面角ACEB的余弦值．[解](1)证明：因为C半圆弧BD上的一点，所以BC⊥CD.在△ABD中，E，F分别为AD，BD的中点，所以EF＝AB＝1，且EF∥AB.于是在△EFC中，EF2＋FC2＝1＋1＝2＝EC2，所以△EFC为直角三角形，且EF⊥FC.因为AB⊥BD，EF∥AB，所以EF⊥BD.因为EF⊥FC，EF⊥BD，BD∩FC＝F,所以EF⊥平面BCD.又EF平面CEF，所以平面CEF⊥平面BCD.(2)由已知∠BFC＝120°，以F为坐标原点，分别以垂直于BD、向量FD，FE所在方向作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，则C，E(0,0,1)，B(0，－1,0)，A(0，－1,2)，CE＝，BE＝(0,1,1)，AE＝(0,1，－1)．设平面ACE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取z1＝1，得m＝.设平面BCE的法向量n＝(x2，y2，z2)，则即取z2＝1，得n＝(，－1,1).所以cos〈m，n〉＝＝＝，又二面角ACEB为锐角，所以二面角ACB的余弦值为.2.(2019·沈阳三模)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，E为PC上的点，且BE⊥平面APC.(1)求证：平面PAD⊥平面PBC；(2)当三棱锥PABC体积最大时，求二面角BACP的余弦值．[解](1)证明： 侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD＝AB，四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，又AP平面PAB，∴AP⊥BC，BE⊥平面APC，AP平面PAC，∴AP⊥BE，BC∩BE＝B，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAD，∴平面PAD⊥平面PBC.(2)VPABC＝VCAPB＝××PA×PB×BC＝×PA×PB，求三棱锥PABC体积的最大值，只需求PA×PB的最大值．令PA＝x，PB＝y，由(1)知，PA⊥PB，∴x2＋y2＝4，而VPABC＝xy≤×＝，当且仅当x＝y＝，即PA＝PB＝时，VPABC的最大值为.如图所示，分别取线段AB，CD中点O，F，连接OP，OF，以点O为坐标原点，以OP，OB和OF分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知A(0，－1,0)，C(0,1,2)，P(1,0,0)，所以AP＝(1,1,0)，AC＝(0,2,2)．令n＝(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，则设x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1,1)．易知m＝(1,0,0)为面ABC的一个法向量，二面角BACP的平面角为θ，θ为锐角，则cosθ＝＝＝.3．如图，△ABC是以C为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，AE∶EC＝5∶3，DE∥BC，沿DE将三角形ADE折起，使得点A在平面BCED上的射影是点C，点M在AC上且MC＝AC.(1)在BD上确定点N的位置，使得MN∥平面ADE；(2)在(1)的条件下，求CN与平面ABD所成角的正弦值．[解](1)由点A在平面BCED上的射影是点C，可知AC⊥平面BCED，又BC⊥CE，故建立如图所示的空间直角坐标系，C(0,0,0)，A(0,0,4)，B(0,8,0)，D(3,5,0)，E(3,0,0)．由MC＝AC，可知点M的坐标为，设点N的坐标为(x，y,0)，则由点N在BD上可得y＝8－x，即点N的坐标为(x,8－x,0)，则MN＝.设平面ADE的法向量为n1＝(x，y，z)，则而DE＝(0，－5,0)，AE＝(3,0，－4)，所以取x＝4，则z＝3，可得n1＝(4,0,3)，MN∥平面ADE等价于n1·MN＝0，即4x＋0×(8－x)＋3×＝0.解得x＝2，即点N的坐标为(2,6,0)，所以点N为BD的靠近D点的三等分点．(2)由(1)可知CN＝(2,6,0)，设平面ABD的法向量为n2＝(p，q，r)，由题意可知而DB＝(－3,3,0)，AB＝(0,8，－4)，可得取p＝1，则q＝1，r＝2.所以n2＝(1,1,2)．设CN与平面ABD所成的角为θ，则sinθ＝＝.即CN与平面ABD所成角的正弦值为.4.如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝1，F为为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明： BF⊥平面ACE，AE平面ACE，∴BF⊥AE， 四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴CB⊥平面ABE， AE平面ABE，∴CB⊥AE. BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.(2)存在，当AM＝时，平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为. AE⊥平面BC...
