规范解答集训(五)解析几何(建议用时：40分钟)1．(2019·兰州一诊)已知曲线C上的任意一点到直线l：x＝－的距离与到点F的距离相等．(1)求曲线C的方程；(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A，B两点，Q(－1,0)为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：＋－为定值．[解](1)由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，＝，p＝1.∴抛物线的方程为y2＝2x.(2)根据已知，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由可得ky2－2y－2k＝0.设A，B，则y1＋y2＝，y1y2＝－2.∵k1＝＝，k2＝＝.∴＋＝＋＝＝＝＝＝＝＋4.∴＋－＝4.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝.∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴BM·BN＝0.∵BM·BN＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx－.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为.3．(2019·洛阳一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为－2，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)过点P(0，－4)的直线l与椭圆分别交于A，B两点，求△OAB的面积的最大值．[解](1)由题意知a－c＝－2,2b＝2，∴b＝.联立解得：c＝2，a＝.∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的斜率k存在，设直线方程为y＝kx－4，联立消去y得(1＋3k2)x2－24kx＋42＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴Δ>0，即3k2－7>0，x1＋x2＝，x1·x2＝.∵O到AB的距离d＝，|AB|＝|x1－x2|，所以S△OAB＝|AB|d＝2·|x1－x2|＝2＝2＝4·.令t＝3k2－7，∴t>0,3k2＋1＝t＋8.∴S△OAB＝4·＝4·≤4·＝.当且仅当t＝8，即k＝±时，△OAB的面积的最大值为.4．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(－2，y0)是C上一点，且|MF|＝2.(1)求C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．[解](1)根据题意知，4＝2py0，①因为|MF|＝2，所以y0＋＝2，②联立①②解得y0＝1，p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)四边形PAQB存在外接圆．设直线AB方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则Δ＝16k2＋16＞0，且x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|AB|＝|x1－x2|＝4(k2＋1)，因为C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.因此，切线l1的斜率为k1＝，切线l2的斜率为k2＝，由于k1k2＝＝－1，所以PA⊥PB，即△PAB是直角三角形，所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径，所以点Q一定在△PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆．又因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
