规范解答集训(五)解析几何(建议用时:40分钟)1.(2019·兰州一诊)已知曲线C上的任意一点到直线l:x=-的距离与到点F的距离相等.(1)求曲线C的方程;(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A,B两点,Q(-1,0)为定点,设直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,直线AB的斜率为k,证明:+-为定值.[解](1)由条件可知,此曲线是焦点为F的抛物线,=,p=1.∴抛物线的方程为y2=2x.(2)根据已知,设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),由可得ky2-2y-2k=0.设A,B,则y1+y2=,y1y2=-2.∵k1==,k2==.∴+=+======+4.∴+-=4.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(,0),长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点B在以线段MN为直径的圆上,证明直线l过定点,并求出该定点的坐标.[解](1)由题意得,c=,=2,a2=b2+c2,∴a=2,b=1,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m(m≠1),M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.∴Δ=16(4k2+1-m2)>0,x1+x2=,x1x2=.∵点B在以线段MN为直径的圆上,∴BM·BN=0.∵BM·BN=(x1,kx1+m-1)·(x2,kx2+m-1)=(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0,∴(k2+1)+k(m-1)+(m-1)2=0,整理,得5m2-2m-3=0,解得m=-或m=1(舍去).∴直线l的方程为y=kx-.易知当直线l的斜率不存在时,不符合题意.故直线l过定点,且该定点的坐标为.3.(2019·洛阳一模)已知椭圆+=1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为-2,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)过点P(0,-4)的直线l与椭圆分别交于A,B两点,求△OAB的面积的最大值.[解](1)由题意知a-c=-2,2b=2,∴b=.联立解得:c=2,a=.∴椭圆的方程为+=1.(2)由题意知直线l的斜率k存在,设直线方程为y=kx-4,联立消去y得(1+3k2)x2-24kx+42=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),∴Δ>0,即3k2-7>0,x1+x2=,x1·x2=.∵O到AB的距离d=,|AB|=|x1-x2|,所以S△OAB=|AB|d=2·|x1-x2|=2=2=4·.令t=3k2-7,∴t>0,3k2+1=t+8.∴S△OAB=4·=4·≤4·=.当且仅当t=8,即k=±时,△OAB的面积的最大值为.4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,M(-2,y0)是C上一点,且|MF|=2.(1)求C的方程;(2)过点F的直线与抛物线C相交于A,B两点,分别过点A,B两点作抛物线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,点P关于直线AB的对称点Q,判断四边形PAQB是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.[解](1)根据题意知,4=2py0,①因为|MF|=2,所以y0+=2,②联立①②解得y0=1,p=2.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)四边形PAQB存在外接圆.设直线AB方程为y=kx+1,代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2)则Δ=16k2+16>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4,所以|AB|=|x1-x2|=4(k2+1),因为C:x2=4y,即y=,所以y′=.因此,切线l1的斜率为k1=,切线l2的斜率为k2=,由于k1k2==-1,所以PA⊥PB,即△PAB是直角三角形,所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是圆的直径,所以点Q一定在△PAB的外接圆上,即四边形PAQB存在外接圆.又因为|AB|=4(k2+1),所以当k=0时,线段AB最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为4π.