规范解答集训(六)函数、导数和不等式(建议用时：40分钟)1．已知函数f(x)＝ax＋1－xlnx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－y＝0平行．(1)求函数f(x)的极值；(2)若对于x1，x2∈(0，＋∞)，＞m(x1＋x2)，求实数m的取值范围．[解](1)f(x)＝ax＋1－xlnx的导数为f′(x)＝a－1－lnx，可得y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为a－1，由切线与直线x－y＝0平行，可得a－1＝1，即a＝2，f(x)＝2x＋1－xlnx，f′(x)＝1－lnx，当00，当x>e时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，可得f(x)在x＝e处取得极大值为f(e)＝e＋1，无极小值．(2)设x1>x2>0，若＞m(x1＋x2)，可得f(x1)－f(x2)＞mx－mx，即f(x1)－mx＞f(x2)－mx，设g(x)＝f(x)－mx2在(0，＋∞)上为增函数，即g′(x)＝1－lnx－2mx≥0在(0，＋∞)上恒成立，可得2m≤在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝，所以h′(x)＝，h(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，h(x)在x＝e2处取得极小值为h(e2)＝－，所以m≤－.2．(2019·石家庄一模)已知函数f(x)＝aex－sinx，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)当a＝1时，证明：对x∈[0，＋∞)，f(x)≥1；(2)若函数f(x)在上存在极值，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝ex－sinx，于是，f′(x)＝ex－cosx.又因为当x∈(0，＋∞)时，ex>1且cosx≤1.故当x∈(0，＋∞)时，ex－cosx>0，即f′(x)>0.所以，函数f(x)＝ex－sinx为(0，＋∞)上的增函数，于是，f(x)≥f(0)＝1.因此，对x∈[0，＋∞)，f(x)≥1.(2)法一：由题意f(x)在上存在极值，则f′(x)＝aex－cosx在上存在零点，①当a∈(0,1)时，f′(x)＝aex－cosx为上的增函数，注意到f′(0)＝a－1<0，f′＝a·e>0，所以，存在唯一实数x0∈，使得f′(x0)＝0成立.于是，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)为(0，x0)上的减函数；当x∈时，f′(x)>0，f(x)为上的增函数；所以x0∈为函数f(x)的极小值点；②当a≥1时，f′(x)＝aex－cosx≥ex－cosx>0在x∈上成立，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)在上没有极值；③当a≤0时，f′(x)＝aex－cosx<0在x∈上成立，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)在上没有极值，综上所述，使f(x)在上存在极值的a的取值范围是(0,1)．法二：由题意，函数f(x)在上存在极值，则f′(x)＝aex－cosx在上存在零点．即a＝在上存在零点.设g(x)＝，x∈，则由单调性的性质可得g(x)为上的减函数．即g(x)的值域为(0,1)，所以，当实数a∈(0,1)时，f′(x)＝aex－cosx在上存在零点．下面证明，当a∈(0,1)时，函数f(x)在上存在极值．事实上，当a∈(0,1)时，f′(x)＝aex－cosx为上的增函数，注意到f′(0)＝a－1<0，f′＝a·e>0，所以，存在唯一实数x0∈，使得f′(x0)＝0成立．于是，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)为(0，x0)上的减函数；当x∈时，f′(x)>0，f(x)为上的增函数；即x0∈为函数f(x)的极小值点．综上所述，当a∈(0,1)时，函数f(x)在上存在极值．3．(2019·日照二模)已知函数f(x)＝kex(x－1)－x2，k∈R.(1)当k＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若函数f(x)有两个零点，求k的取值范围．[解](1)当k＝－1时，f(x)＝－ex(x－1)－x2，f′(x)＝－exx－x＝－x(ex＋1)，当x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝0时取到最大值，最大值为f(0)＝1.(2)f′(x)＝kexx－x＝x(kex－1)，当k＜0时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又因为f(0)＝－k＞0，f(1)＝－＜0，f(2k－1)＝ke2k－1(2k－2)－(2k－1)2＜k(2k－2)－(2k－1)2＝－＜0，所以f(x)有两个零点；当k＝0时，f(x)＝－x2，所以此时f(x)只有一个零点；当k＝1时，f′(x)＝exx－x＝x(ex－1)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)不存在两个零点；当0＜k＜1时，ln＝－lnk＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，－lnk)上单调递减，在(－lnk，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－k＜0，f(x)不存在两个零点；当k＞1时，ln＝－lnk＜0，f(x)在(－∞，－lnk)上单调递增，在(－lnk,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－lnk)＝－＜0，f(x)不存在两个零点．综上，当f(x)有两个零点时，k的取值...
