规范解答集训(六)函数、导数和不等式(建议用时：40分钟)1．已知函数f(x)＝ax＋1－xlnx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－y＝0平行．(1)求函数f(x)的极值；(2)若对于x1，x2∈(0，＋∞)，＞m(x1＋x2)，求实数m的取值范围．[解](1)f(x)＝ax＋1－xlnx的导数为f′(x)＝a－1－lnx，可得y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为a－1，由切线与直线x－y＝0平行，可得a－1＝1，即a＝2，f(x)＝2x＋1－xlnx，f′(x)＝1－lnx，当0e时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，可得f(x)在x＝e处取得极大值为f(e)＝e＋1，无极小值．(2)设x1>x2>0，若＞m(x1＋x2)，可得f(x1)－f(x2)＞mx－mx，即f(x1)－mx＞f(x2)－mx，设g(x)＝f(x)－mx2在(0，＋∞)上为增函数，即g′(x)＝1－lnx－2mx≥0在(0，＋∞)上恒成立，可得2m≤在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝，所以h′(x)＝，h(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，h(x)在x＝e2处取得极小值为h(e2)＝－，所以m≤－
2．(2019·石家庄一模)已知函数f(x)＝aex－sinx，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)当a＝1时，证明：对x∈[0，＋∞)，f(x)≥1；(2)若函数f(x)在上存在极值，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝ex－sinx，于是，f′(x)＝ex－cosx
又因为当x∈(0，＋∞)时，ex>1且cosx≤1
故当x∈(0，＋∞)时，ex－cosx>0，即f′(x)>0
所以，函数f(x)＝ex－sinx为(0，＋∞)上的增函数，于是，f(x)≥f(0)＝1
因此，对x∈[0，＋∞)，f(x)≥
