第6讲空间向量及其运算一、选择题1.(2017·黄冈模拟)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于()A.B.－2C.0D.或－2解析 a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.答案B2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1)，∴cos〈CM，D1N〉＝＝－，∴sin〈CM，D1N〉＝＝.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC＜AE·CDB.AE·BC＝AE·CDC.AE·BC＞AE·CDD.AE·BC与AE·CD的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉＞90°，因为AE·BC＝0，∴AE·CD＜0，所以AE·BC＞AE·CD.答案C4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.－1B.C.D.解析由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.答案D5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.答案C二、填空题6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.解析由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又 a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案60°7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.解析|EF|2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝，∴EF的长为.答案8.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基底{OA，OB，OC}表示向量OG，有OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________.解析 OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋OB＋OC，∴x＝，y＝，z＝.答案，，三、解答题9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1) c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2) a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又 |a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E.(1)解E(a，x，0)，F(a－x，a，0).(2)证明 A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)，∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E.(3)证明 A1，E，F，C1四点共面，∴A1E，A1C1，A1F共面.选A1E与A1C1为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1＋λ2A1E，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1.于是A1F＝A1C1＋A1E.11.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A.－1B.0C.1D.不确定解析如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案B12.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b...
