第7讲抛物线一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1C.D.2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF⊥x轴知,|PF|=2,所以P点的坐标为(1,2).代入曲线y=(k>0)得k=2,故选D.答案D2.点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或y=-x2解析分两类a>0,a<0可得y=x2,y=-x2.答案D3.(2017·张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=()A.9B.8C.7D.6解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.答案B4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|等于()A.B.C.3D.2解析 FP=4FQ,∴|FP|=4|FQ|,∴=.如图,过Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,∴==,∴|QQ′|=3,根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3,故选C.答案C5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值为()A.12B.24C.16D.32解析当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,∴y+y=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,∴y1+y2=,y1y2=-16,∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,y+y≥32.∴y+y的最小值为32.故选D.答案D二、填空题6.(2016·兰州诊断)抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.解析由图可知弦长|AB|=2,三角形的高为3,∴面积为S=×2×3=3.答案37.(2017·四川四校三联)过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,则弦长|AB|为________.解析设A(x1,y1),B(x2,y2).易得抛物线的焦点是F(1,0),所以直线AB的方程是y=x-1,联立消去y得x2-6x+1=0,所以x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.答案88.(2017·江西九校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.解析y2=2px的准线为x=-.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A,B,又点A,B在双曲线y2-x2=1上,从而-=1,所以p=2.答案2三、解答题9.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.(1)解 l:x-y-2=0,∴l与x轴的交点坐标为(2,0).即抛物线的焦点为(2,0),∴=2,∴p=4.∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)①证明设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则则∴kPQ==,又 P,Q关于l对称.∴kPQ=-1,即y1+y2=-2p,∴=-p,又 PQ的中点一定在l上,∴=+2=2-p.∴线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②解 PQ的中点为(2-p,-p),∴即∴即关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0,有两个不等实根.∴Δ>0.即(2p)2-4(4p2-4p)>0,解得0<p<,故所求p的范围为.10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=;(2)+为定值;(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(,0).由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,得y2=2p(my+),即y2-2pmy-p2=0.(*)则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,所以x1x2===.(2)+=+=.因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得+==(定值).(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y...