第35练平面向量的应用[基础保分练]1．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝5，则|a|＋|b|的取值范围是()A．[0,5]B．[5,5]C．[5，7]D．[5,10]2．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形3．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，则船实际航程为()A．2kmB．6kmC．2kmD．8km4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形5．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为()A．24JB．24JC．24JD．24J6．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为()A.B.C.D.7．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OC＋OA)＝(PA－PB)·(OA＋OB)＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心8．(2019·四川省棠湖中学月考)△ABC所在平面上一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为()A．2∶3B．1∶4C．1∶3D．1∶69．已知P为锐角△ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则|PA＋3PC|的最小值为________．10.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC，若BD＝xBA＋yBC(x，y∈R)，则x－y＝________.[能力提升练]1．已知AB，AC是非零向量且满足(AB－2AC)⊥AB，(AC－2AB)⊥AC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形3．在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是()A.B.C.D.4．设|AB|＝10，若平面上点P满足对任意的λ∈R，恒有|2AP－λAB|≥8，则一定正确的是()A．|PA|≥5B．|PA＋PB|≥10C.PA·PB≥－9D．∠APB≤90°5．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．6．(2019·盐城模拟)在△ABC中，tanA＝－3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有PA·PC≥P0A·P0C，则线段BC的长为________．答案精析基础保分练1．B2.A3.B4.A5.D6.B7.B8．C[由已知得，PA＋PB＋PC＝AB＝AP＋PB，解得PC＝2AP，所以|PC|＝2|AP|，作图如下：设点B到线段AC的距离是h，所以＝＝＝＝＝.]9．6解析PA＋3PC＝PA＋3(PA＋AC)＝4PA＋3AC，(4PA＋3AC)2＝16|PA|2＋9|AC|2＋24|PA||AC|·cos120°＝16|PA|2－48|PA|＋144，∴|PA|＝时，(4PA＋3AC)2最小为108.故|PA＋3PC|min＝6.10．－1解析如图，过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC＝α，则∠ACD＝2α，∠ACB＝90°－α，∴∠DCM＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α，∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴＝＝k(k为相似比)．又BD＝xBA＋yBC＝MD＋BM，∴x＝＝k，y＝＝＝k＋1，∴x－y＝－1.能力提升练1．A[因为(AB－2AC)⊥AB，所以(AB－2AC)·AB＝0，所以AB2－2AC·AB＝0，所以AB2＝2AC·AB，因为(AC－2AB)⊥AC，所以(AC－2AB)·AC＝0，所以AC2－2AB·AC＝0，所以AC2＝2AB·AC，所以AB2＝AC2，所以|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰三角形．]2．D[易知＋在∠BAC的角平分线上，已知·BC＝0，可知在△ABC中∠BAC的角平分线与BC垂直，易判断AB＝AC，又由·＝，得∠BAC＝60°.所以△ABC为等边三角形，故选D.]3．D[ AB1⊥AB2，∴AB1·AB2＝(OB1－OA)·(OB2－OA)＝OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＋OA2＝0，∴OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＝－OA2， AP＝AB1＋AB2，∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA，∴OP－OB1＝OB2－OA，∴OP＝OB1＋OB2－OA， |OB1|＝|OB2|＝1，∴OP2＝1＋1＋OA2＋2(OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2)＝2＋OA2＋2(－OA2)＝2－OA2， |OP|<，∴0≤|OP|2<，∴0≤2－OA2<，∴
