高考数学二轮复习 专题整合 7-1 立体几何中的向量方法（必做部分）理（含最新原创题，含解析）VIP专享VIP免费

【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习专题整合7-1立体几何中的向量方法(必做部分）理（含最新原创题，含解析）1．(·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．(1)证明连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)解因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O为坐标原点，OB，OB1，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，OC＝OA，则A，B(1,0,0)，B1，C.AB1＝，A1B1＝AB＝，B1C1＝BC＝.设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n＝(1，，)．设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m＝(1，－，)．则cos〈n，m〉＝＝.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)证明如图，取AB的中点O，连接CO，A1O，A1B.因为CA＝CB，所以CO⊥AB，由于AA1＝AB，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以AB⊥A1O，因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1OC，又AC⊂平面A1OC，故AB⊥A1C.(2)解由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则BC＝(1,0，)，BB1＝(－1，，0)，A1C＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，A1C〉＝＝－.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.4．(·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．(1)证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图． AB＝AA1＝，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．由A1B1＝AB，易得B1(－1,1,1)． A1C＝(－1,0，－1)，BD＝(0，－2,0)，BB1＝(－1,0,1)．∴A1C·BD＝0，A1C·BB1＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.(2)解设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)． OC＝(－1,0,0)，OB1＝(－1,1,1)，∴∴取n＝(0,1，－1)，由(1)知，A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，∴cosθ＝|cos〈n，A1C〉|＝＝.又 0≤θ≤，∴θ＝.5．(·辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．(1)证明由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面...