补偿练2函数与导数(一)(建议用时：40分钟)1．给出下列四个函数：①f(x)＝x2＋x；②f(x)＝tanx；③f(x)＝x＋sinx；④f(x)＝lg.其定义域为R，且是奇函数的是________．(填序号)解析函数f(x)＝x2＋x不是奇函数；函数f(x)＝tanx的定义域不是R；函数f(x)＝lg的定义域是(－1,1)，因此应填③.答案③2．式子2lg2－lg的值为________．解析2lg2－lg＝lg4＋lg25＝lg100＝2.答案23．函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域是________．解析由得x＞1，故函数的定义域是(1，＋∞)．答案(1，＋∞)4．下列函数f(x)中：①f(x)＝－x；②f(x)＝x3；③f(x)＝lnx；④f(x)＝2x.其中满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”的是________．解析“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”等价于在(0，＋∞)上f(x)为减函数，易判断f(x)＝－x符合．答案①5．已知函数f(x)＝则f[f()]＝__________.解析f()＝log2＝－1，∴f[f()]＝3－1＝.答案6．函数f(x)＝ln的值域是__________．解析因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1，所以0＜≤1，所以ln≤0，即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．答案(－∞，0]7．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．解析由f′(x)＝ex(cosx－sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为.答案8．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是增函数”是“函数g(x)＝xa在R上是增函数”的________条件．解析函数f(x)＝ax在R上是增函数，即a＞1；但当a＝2时，函数g(x)＝x2在R上不是增函数．函数g(x)＝xa在R上是增函数时，可有a＝，此时函数f(x)＝ax在R上不是增函数．答案既不充分也不必要9．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝________.解析当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．答案x3－ln(1－x)10．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________．解析由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，根据函数f(x)为偶函数，可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．答案f(a＋1)＞f(2)11．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析因为f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，所以x2－ax＋1＝0在(，3)上有解．由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋，设g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－，令g′(x)＞0，得g(x)在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增，令g′(x)＝1－＜0，得g(x)在(－1,1)上单调递减，因为＜x＜3，所以g(x)在(，1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以当＜x＜3时，2≤g(x)＜，所以a∈[2，)．答案12．设函数f(x)＝xex，给出下列说法：①x＝1为f(x)的极大值点；②x＝1为f(x)的极小值点；③x＝－1为f(x)的极大值点；④x＝－1为f(x)的极小值点．其说法正确的是________．(填序号)解析f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x＞－1时，f′(x)＞0，函数f(x)递增，当x＜－1时，f′(x)＜0，函数f(x)递减，所以当x＝－1时，f(x)有极小值．答案④13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是________．解析由函数f(x)＝的图象可知，要使关于x的方程f(x)＝k有三个不等的实根，则需直线y＝k与函数f(x)的图象有三个不同的交点，所以有0＜k＜1，所以关于x的方程f(x)＝k有三个不等的实根的实数k的取值范围是(0,1)．答案(0,1)14．已知a＞0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为________．解析∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0在[－2,2]上恒成立．∵a＞0，∴－＝－＜0，∴f′(x)max＝f′(2)≤0，即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.答案－12
