第6讲双曲线分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·广州二模)已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()．A．4B.C．－D．－4解析把双曲线的方程化为x2－＝1，可见双曲线的实轴长为2，虚轴长为2.∴据题意有：2＝2×2，∴m＝－.答案C2．(·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析不妨设a>0，b>0，c＝.据题意，2c＝10，∴c＝5.①双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝.②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为()．A．－2B．－C．1D．0解析设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2，选A.答案A4．已知双曲线M：－＝1和双曲线N：－＝1，其中b>a>0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为()．A.B.C.D.解析由得x2＝.依题意得＝c2，＝1，即＝1，e4－3e2＋1＝0，e2＝；又e2>1，因此e2＝＝2，所以e＝，即双曲线M的离心率为，选A.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·南京二模)已知双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．解析双曲线－y2＝1的渐近线方程为x±ay＝0.由题意，a＝2.又b＝1，c＝，e＝＝.答案6．(·青岛一模)已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．解析依题意，得e＝＝＝＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)，.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．解(1)设所求双曲线方程为my2－nx2＝1(m＞0，n＞0)，则因为点(3，－4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得解方程组得故所求双曲线方程为－＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 双曲线过点P(，2)，∴－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为y2－x2＝1.8．(13分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.分层B级创新能力提升1.(·浙江)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()．A．3B．2C.D.解析设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.答案B2．(·北京西城模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OF＋OP＝2OE，则双曲线的离心率为()．A.B.C.D.解析设双曲线的右焦点为A，则OF＝－OA，故OF＋OP＝OP－OA＝AP＝2AE，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝＝，选C.答案C3．(·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，...
