第9讲直线与圆锥曲线分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()．A.B．2C.D．4解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.答案C2．(·台州质检)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()．A.B.C.D.解析由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tanθ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.答案C3．(·临沂二模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于()．A．7B．3C．6D．5解析点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案A4．(·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝()．A．1＋2B．4－2C．5－2D．3＋2解析如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. A，B在椭圆上，∴＋y＝1，＋y＝1.两式相减得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－， x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴＝－，即直线AB的斜率为－.∴直线AB的方程为y－＝－，即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.答案2x＋4y－3＝06．(·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案＋＝1三、解答题(共25分)7．(12分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，如果|AB|＝2，△AOB的面积为S＝1，求直线AB的方程．解设A，B的横坐标分别为x1，x2，O到直线AB的距离为d，则d＝.由|AB|＝2，S＝1可知，d＝1，∴|b|＝，即b2＝1＋k2.把y＝kx＋b代入x2＋4y2＝4并整理得：(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，则x1，x2是该方程的两根，∴|x1－x2|＝＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝·. |AB|＝2，b2＝1＋k2，∴2＝，整理得：4k4－4k2＋1＝0，∴k2＝，∴k＝±.∴b2＝1＋k2＝，∴b＝±，∴直线AB的方程为y＝x±或y＝－x±.8．(13分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆交于E，F两点，若ED＝2DF，求直线EF的方程；(3)是否存在实数k，直线y＝kx＋2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D(－1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解(1)由＝，a·b＝··，得a＝，b＝1，所以椭圆方程是＋y2＝1.(2)设EF：x＝my－1(m>0)，代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由ED＝2DF，得y1＝－2y2.由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝，得2＝，∴m＝1，m＝－1(舍去)．故直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.(3)将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0.(*)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，以PQ为直径的圆过D(－1,0)，则PD⊥QD，即(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，得(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝＝0.解得k＝，此时(*)方程Δ>0，∴存在k＝满足题设条件．分层B级创新能力提升1．(·皖南八校联考...
