高三数学（理）新课：数学归纳法及其应用举例人教版知识精讲VIP免费

高三数学（理）新课：数学归纳法及其应用举例人教版【本讲教育信息】一.教学内容：高三新课：数学归纳法及其应用举例二.本周教学重、难点：数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n取第一个值0n（如取1n或2等）时结论正确。（2）假设当kn（*Nk，0nk）时结论正确，证明当1kn时结论也正确。由此可以断定，对于任意不小于0n的正整数n，命题都正确。【典型例题】[例1]用数学归纳法证明。nnnnn212111211214131211。证明：（1）当1n时，左边21211，右边=21，命题成立。（2）假设当kn命题成立，即2111211214131211kkkkk21。则当n1k时，左边121211214131211kkk221k221121212111kkkkk1213121kkk)1(211)1(1221kkk，所以1kn时命题成立由（1）和（2）知，命题对一切正整数均成立。[例2]已知数列,)13)(23(1,,1071,741,411nn，计算4321,,,SSSS猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明。证明：414111S72741412S1031071723S134131011034S用心爱心专心于是可以猜想13nnSn下面用数学归纳法来证明（1）当1n时，左边411S右边41113113nn猜想成立。（2）假设当kn时，猜想成立，即74141113)13)(23(11071kkkk那么，当1kn时)13)(23(11071741411kk]1)1(3][2)1(3[1kk)43)(13(143)43)(13(1132kkkkkkkk1)1(31)43)(13()1)(13(kkkkkk所以当1kn时猜想也成立。[例3]用数学归纳法证明：98322nn（*Nn）能被64整除。证明：（1）当1n时，6498322能被64整除，假设kn，98322kk能被64整除。（2）当1kn时，898399)1(83222)1(2kkkk)1(64)983(922kkk 98322kk与64均能被64整除∴)983(922kk及)1(64k也能被64整除，所以1kn时，命题成立，由（1）（2）可知*Nn时，命题成立。[例4]平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成)2(212nn个区域。用心爱心专心证明：（1）当1n时，一条直线把平面分成两个区域，又2)211(212，所以1n时命题成立。（2）假设kn时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了)2(212kk个区域，那么当1kn时，1k条直线中的k条把平面分成了)2(212kk个区域。第1k条直线被这k条直线分成1k部分，每部分把它们所在的区域分成了两块，因此增加了1k个区域，所以1k条直线把平面分成了22)1[(211)2(21kkkk]2)1(k个区域，所以1kn时命题也成立，根据（1）、（2）知，对一切的*Nn，此命题均成立。[例5]数列}{na的通项公式2)1(1nan，设)1()1)(1()(21naaanf，试求)4(),3(),2(),1(ffff的值，推导出)(nf的公式，并证明。证明：,432111)1(21af64)1)(1()2(21aaf85)1)(1)(1()3(321aaaf，106)1)(1)(1)(1()4(4321aaaaf猜想：)1(22)(nnnf，证明如下：（1）当1n时，43)11(221,43)1(f公式成立（2）假设kn时成立，即)1(22)(kkkf那么)1)(()1(1kakfkf])2(11[)1(222kkk22)2(1)2()1(22kkkk]1)1[(22)1(kk由（1）（2）可知，)1(22)(nnnf对任何*Nn都成立。用心爱心专心[例6]对一切大于1的自然数n，证明：212)1211()511)(311(nn。证明：（1）当2n时，2534)311(（2）假设)2(kkn时命题成立，即212)1211()511)(311(kk，那么当1kn时，)1211)(1211()511)(311(kk)1211(212kk121kk，只需证明21)1(2121kkk，只要证明38448422kkkk，此式显然成立。故当1kn时，不等式仍然成立。由（1）（2）知，对一切2n（Nn）不等式均成立。[例7]是否存在常数...