高三数学解决抽象函数问题的常用方法VIP免费

解决抽象函数问题的常用方法抽象函数因为没有具体的函数解析式，所以多数学生对这类问题颇感困惑，不知从何下手，下面总结了几种求解此类问题的常用方法。一、赋值法观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的方法1、赋特殊值例1.设函数)0xRx)(x(fy且，对任意实数1x、2x满足)xx(f)x(f)x(f2121。（1）求证：0)1(f)1(f；（2）求证：)x(fy为偶函数；（3）已知)x(fy在),0(上为增函数，解不等式0)21x(f)x(f。证明：（1）令1xx21，得)11(f)1(f)1(f，故0)1(f；令1xx21，得0)1(f)]1()1[(f)1(f)1(f，故0)1(f。（2）令xxx21，得)x(f)x(f22；令xxx21，得)x(f)x(f22，所以)x(f)x(f，即)x(fy为偶函数。（3）0)21x(f)x(f，即)1(f)]21x(x[f，或)1(f)]21x(x[f，由（2）和)x(fy在),0(上为增函数，可得0)21x(x11)21x(x0或，解得4171x4171且21,0x。2、赋特殊函数例2.对于任意的函数)x(fy，在同一个直角坐标系中，函数)1x(fy与函数)x1(fy的图像恒（）（A）关于x轴对称（B）关于直线1x对称（C）关于直线1x对称（D）关于y轴对称解：取函数2x)x(f，则22)x1()x1(fy,)1x()1x(fy，这两个函数是同一个函数，它们的对称轴为1x，故选（B）。二、递推法根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，达到目的。例3.已知)x(f是定义在R上的函数，1)1(f，且对于任意Rx都有1)x(f)1x(f,5)x(f)5x(f，若)2002(g,x1)x(f)x(g则________。解：由x1)x(f)x(g，和1x)x(g)x(f，从而由题设有)x(g)5x(g5]1x)x(g[1)5x()5x(g，x)x(g[1)1x()1x(g)x(g)1x(g1]1。故)x(g)1x(g)2x(g)3x(g)4x(g)5x(g)x(g。即)1x(g)x(g，所以)x(g是以1为周期的周期函数。又111)1(f)1(g，所以1)2002(g。三、换元法根据题目结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换成所需的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换），得到一个或几个方程，然后设法从中求其解。例4.若函数)1x(f的定义域为)3,2[，求函数)2x1(f的定义域。解：设1xt，因为)1x(f的定义域为)3,2[，所以)4,1[t，则)t(f的定义域是)4,1[。又令)4,1[t2x1得),21()31,(x即)2x1(f的定义域是),21()31,(。四、比较，转化法有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切，求解这类问题应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。例5.已知定义在R上的函数)x(f满足：（1）对于任意Ryx、都有)y(f)x(f)yx(f；（2）当0x时，0)x(f，且2)1(f。求)x(f在]3,3[上的最大值和最小值。解：任取3xx321，由条件（1）得)x(f)xx(f]x)xx[(f)x(f1121122，所以)xx(f)x(f)x(f1212，因为0xx12，由条件（2）得0)xx(f12，所以)x(f)x(f12，所以)x(f在]3,3[上单调递减。在（1）中令0yx，得)0(f)0(f)00(f，所以0)0(f，再令yx，得)x(f)x(f)xx(f，所以)x(f)x(f，从而)x(f为奇函数，因此，]3,3[)x(f在上的最大值为6)1(f3)1(f)1(f)1(f)2(f)1(f)21(f)3(f)3(f，最小值为6)3(f)3(f。例6.设函数)x(f的定义域为R，对于任意实数m、n，总有)n(f)m(f)nm(f，且1)x(f0,0x时。（1）求)0(f的值；（2）判断)x(f在R上的单调性，并证明你的结论；（3）设)}1(f)y(f)x(f|)y,x{(A22，}1)cbyax(f|)y,x{(B，a、b、cR，a、b不同时为零，若BA，确定实数a、b、c三者之间的关系。分析：根据所给条件，易联想到符合题设的指数函数)1a0(ayx，从而问题（1）、（2）的求解方向就十分明确了，当然这只是猜测，还需要严格证明。解：（1...