高三数学第一轮复习：双曲线苏教版（文）【本讲教育信息】一、教学内容：双曲线高考要求：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。二、知识要点1、双曲线的两种定义（1）平面内与两定点F1，F2的常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a＝|F1F2|时，p点的轨迹是．②2a＞|F1F2|时，p点轨迹不存在．（2）平面内动点P到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e，当e时动点P的轨迹是双曲线．设P到1F的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为2d，则2、双曲线的标准方程（1）标准方程：，焦点在轴上；，焦点在轴上．其中：a0，b0，2a．（2）双曲线的标准方程的统一形式：3、双曲线的几何性质（对进行讨论）（1）范围：，．（2）对称性：对称轴方程为；对称中心为．（3）顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，准线方程为，渐近线方程为．（4）离心率e=，且e，e越大，双曲线开口越，e越小，双曲线开口越，焦准距P＝．（5）焦半径公式，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任意一点，，，若是双曲线左支上任意一点，，．用心爱心专心（6）具有相同渐近线的双曲线系方程为（7）的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为．（8）的共轭双曲线方程为．【典型例题】例1、根据下列条件，写出双曲线的标准方程（1）中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5．（2）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）．（3）已知双曲线的渐近线方程为032yx，且过点（2，－6），求双曲线的方程；（4）已知双曲线的右准线为x＝4，右焦点为F（10，0），离心率为e＝2，求双曲线的方程．解：（1） 顶点为（0，6），设所求双曲线方程为∴6a又 5.1e∴故所求的双曲线方程为（2）令与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线为x2－2y2＝k 双曲线过M（2，－2）∴4－2×4＝k得k＝－4∴x2－2y2＝－4即（3）设2222,3,1492712xyyx（4）2222(10)23(2)16|4|xyxyx例2、ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．答案：221(0)3yxx例3、可以证明函数（b≠0）的图象是双曲线，试问双曲线C：的离心率e等于．答案：（提示：）用心爱心专心解：列表如下：x)3,(3)0,3(0)3,0(3),3(y´＋0－－0＋y极大值－2无意义极小值2根据上表，可作出的草图如下：渐近线有两条，一条为y轴，另一条可设为y＝kx．由渐近线的意义知：设P（x，y）为双曲线上任一点，则点P到渐近线y＝kx的距离为d＝＝显然：∴即故双曲线的离心率.例4、直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：（1）将y＝kx＋1代入2x2－y2＝1后并整理得：（k2－2）x2＋2kx＋2＝0①用心爱心专心依题意有：－2＜k＜－2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由①得：x1＋x2＝，x1x2＝②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），则FA⊥FB，因此FBFA＝0即（x1－c）（x2－c）＋y1y2＝0又y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1∴（k2＋1）x1x2＋（k－c）（x1＋x2）＋c2＋1＝0③把②及c＝26代入③得：5k2＋62k－6＝0解得：k＝－∈（－2，－2）或k＝（－2，－2）（舍去）因此当k＝－时，符合题给要求．例5、在双曲线的一支上有不同的三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3）与焦点F（0，5）的距离成等差数列．（1）求y1＋y3；（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．解：（1）依题意，A、B、C均在双曲线的上支，则|AF|＝ey1－，|BF|＝6e－，|CF|＝ey3－ |AF|，|BF|，|CF|成AP∴6e－32＝即y1＋y3＝12（2） A、C在双曲线上∴，两式相减得：于是AC的垂直平分线方程为：y－6＝－用心爱心专心即y＝－x＋故直线恒过定点（0，）例6、一双曲线以y轴为其右准线，它的右支过点M（1，2），且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的右焦点F的轨迹方...
