第6章第3节一、选择题1．(2010·北京理)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12[答案]C[解析]am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，因此有m＝11.2．(2010·辽宁理)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.B.C.D.[答案]B[解析]a2a4＝a32＝1，∴a3＝1， S3＝7，∴q≠1，∴，∴两式相比＝7，∴q＝或q＝－(舍去)，即a1＝4.∴S5＝＝，故选B.3．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项[答案]B[解析]设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1，所以前三项之积a13q3＝2，后三项之积a13q3n－6＝4.所以两式相乘，得a16q3(n－1)＝8，即a12qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，a1nq＝64，即(a12qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12，本题利用通项公式转化为基本量a1，q的关系加以解决，利用基本量沟通已知和所求是常用的方法，注意体会．4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20＝()A．1025B．1024C．10250D．10240[答案]C[解析] log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，∴log2xn＋1＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，＝2(n∈N*)，又xn>0(n∈N*)，所以数列{xn}是公比为2的等比数列，由x1＋x2＋…＋x10＝10得到x1＝，所以S20＝＝10×(210＋1)＝10250.5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()用心爱心专心1A．80B．30C．26D．16[答案]B[解析]据等比数列性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)， Sn＝2，S3n＝14，∴(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．又S2n>0得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)．解得S4n＝30.6．(2010·江西理)等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215[答案]C[解析]令g(x)＝(x－a1)(x－a2)……(x－a8)，则f(x)＝xg(x)f′(x)＝g(x)＋g′(x)x，故f′(0)＝g(0)＝a1a2……a8＝(a1a8)4＝212.7．(2010·安徽理)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)[答案]D[解析] {an}是等比数列，∴X，Y－X，Z－Y成等比数列．∴(Y－X)2＝X(Z－Y)，即Y2－XY＝XZ－X2∴Y(Y－X)＝X(Z－X)，故选D.8．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为()A．6B．8C．10D．12[答案]B[解析]设项数为2n，则由已知得＝q＝2，又a1＝1，得an＝2n－1，其中间两项和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，可解得n＝4，故得项数2n＝8，应选B.二、填空题9．在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋用心爱心专心2an2等于________．[答案](4n－1)[解析]由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，∴a1＝1，an＝2n－1，q＝2∴{an}是等比数列∴{an2}也是等比数列，首项为1，公比为4∴a12＋a22＋…＋an2＝＝(4n－1)．10．设f(x)是定义R恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n为常数)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．[答案][，1)[解析]因an＋1＝f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝an，故Sn＝＝1－()n， n≥1，n∈N，∴Sn∈[，1)．11．(2010·天津文)设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N*，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝__________.[答案]4[解析]本题考查了等比数列与均值不等式的综合应用，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力．Tn＝＝＝＝＝·＝·当且仅当()n＝时，Tn取得最大值，此时n0＝4.三、解答题12．(文)(2010·陕西理)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.[解析]本题考查等差与等比数列的基本性质，第一问只须设出...
