数列问题的几个不容忽视不容忽视数列的函数性定义例1:数列na满足12a，1112nnana，则4_____a；若数列na有一个形如sinnaAxB的通项公式，其中,,,AB均为实数，且0,0,2A,则此数列na的通项公式为————（写出一个）。错解：由已知12a得212a，31a，42a，所以42a。最小正周期T=3，从而23，因为最大值为2，最小值为-1，所以213211,2222AB,又点（1，2）在图像上，则3212sin1232，解得6，所以321sin2362nax。评析：本题中的错误在于误认为数列的项的最值就是近似函数sin,fxAxBxR的最值，在这里数列的定义域是N而不是R，也就是说近似函数的最值不同于数列的最值，即点（2，4）不一定是相似函数图像的最高点，点（3，-1）也不一定是相似函数图像的最低点，而本题事实确实如此。不妨把点12,2代入验证，就不符合所求得的通项公式。正解：由已知得42a。最小正周期T=3，从而23，所以2sin,3naAxB由已知点（1，2），12,2，（3，-1）在图像上，代入得：22sin,...13AB14sin,...223AB1sin,...3AB则有2sinsin213214(1)sinsin23ABABABAB，从而可得3，代入上式解得12B,3A，所以数列的通项公式为213sin332nax。不容忽视等差等比数列的定义在等差数列与等比数列的定义中，要注意“从第二项起”这一条件，即12nnaadn，12nnaqna，否则数列的性质就有可能发生变化，以致解题出错。例2：数列na中，12a且11231...2nnaaaaa，ns为其前项和，求ns。用心爱心专心错解：由已知得，12311(...)2nnaaaaa，所以两式相减得112nnnaaa，即132nnaa，所以数列na是等比数列，首项是12a，公比为32q。从而可求1134412nnnaqsq。评析：本题中的错误在于误认为数列na是等比数列，即当1n时132nnaa成立，实际上在式子12311(...)2nnaaaaa中成立的条件是2n，即132nnaa成立的条件是2n，因此数列是否是等比数列还需研究前两项的比值，而22111,2aaa，所以数列na并不是等比数列。正确解法：由已知得112nnas，112nnas（2n），所以111122nnnnnaassa，即132nnaa（2n），所以数列na从第二项起是等比数列，又因为22111,2aaa，所以当n=1时，12nss，当2n时，1112331123...223212nnnnsaaaa，又n=1时，也符合上式，所以1322nns。另解：由已知得1112nnnnasss，即132nnss，所以数列ns是等比数列，首项是2，公比为32，从而有111322nnnssq。3.不容忽视1nnnass成立的条件在数列前n项和ns的定义中，说明了na与ns的关系，即1121nnnssnasn，在此要注意条件2n时，才有1nnnass成立，否则，也容易造成错误。用心爱心专心例3：（2008全国Ⅱ卷理20）设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．设3nnnbS，求数列nb的通项公式；错解：由已知13nnnaS，113nnnaS，两式相减得1123nnnnaaa，即11223nnnaa。两边同除以13n得11223339nnnnaa，即1122233333nnnnaa，所以数列233nna为等比数列，首项是23a，公比为23。从而可求112322nnnaa，132322nnnnnnbsaa。评析：本题中的错误在于误认为1n时11223nnnaa成立，造成错误的原因在于没有注意1nnnass成立的条件是2n。实际上只有有2n时11223nnnaa...
