数列问题的几个不容忽视不容忽视数列的函数性定义例1:数列na满足12a,1112nnana,则4_____a;若数列na有一个形如sinnaAxB的通项公式,其中,,,AB均为实数,且0,0,2A,则此数列na的通项公式为————(写出一个)。错解:由已知12a得212a,31a,42a,所以42a。最小正周期T=3,从而23,因为最大值为2,最小值为-1,所以213211,2222AB,又点(1,2)在图像上,则3212sin1232,解得6,所以321sin2362nax。评析:本题中的错误在于误认为数列的项的最值就是近似函数sin,fxAxBxR的最值,在这里数列的定义域是N而不是R,也就是说近似函数的最值不同于数列的最值,即点(2,4)不一定是相似函数图像的最高点,点(3,-1)也不一定是相似函数图像的最低点,而本题事实确实如此。不妨把点12,2代入验证,就不符合所求得的通项公式。正解:由已知得42a。最小正周期T=3,从而23,所以2sin,3naAxB由已知点(1,2),12,2,(3,-1)在图像上,代入得:22sin,...13AB14sin,...223AB1sin,...3AB则有2sinsin213214(1)sinsin23ABABABAB,从而可得3,代入上式解得12B,3A,所以数列的通项公式为213sin332nax。不容忽视等差等比数列的定义在等差数列与等比数列的定义中,要注意“从第二项起”这一条件,即12nnaadn,12nnaqna,否则数列的性质就有可能发生变化,以致解题出错。例2:数列na中,12a且11231...2nnaaaaa,ns为其前项和,求ns。用心爱心专心错解:由已知得,12311(...)2nnaaaaa,所以两式相减得112nnnaaa,即132nnaa,所以数列na是等比数列,首项是12a,公比为32q。从而可求1134412nnnaqsq。评析:本题中的错误在于误认为数列na是等比数列,即当1n时132nnaa成立,实际上在式子12311(...)2nnaaaaa中成立的条件是2n,即132nnaa成立的条件是2n,因此数列是否是等比数列还需研究前两项的比值,而22111,2aaa,所以数列na并不是等比数列。正确解法:由已知得112nnas,112nnas(2n),所以111122nnnnnaassa,即132nnaa(2n),所以数列na从第二项起是等比数列,又因为22111,2aaa,所以当n=1时,12nss,当2n时,1112331123...223212nnnnsaaaa,又n=1时,也符合上式,所以1322nns。另解:由已知得1112nnnnasss,即132nnss,所以数列ns是等比数列,首项是2,公比为32,从而有111322nnnssq。3.不容忽视1nnnass成立的条件在数列前n项和ns的定义中,说明了na与ns的关系,即1121nnnssnasn,在此要注意条件2n时,才有1nnnass成立,否则,也容易造成错误。用心爱心专心例3:(2008全国Ⅱ卷理20)设数列na的前n项和为nS.已知1aa,13nnnaS,*nN.设3nnnbS,求数列nb的通项公式;错解:由已知13nnnaS,113nnnaS,两式相减得1123nnnnaaa,即11223nnnaa。两边同除以13n得11223339nnnnaa,即1122233333nnnnaa,所以数列233nna为等比数列,首项是23a,公比为23。从而可求112322nnnaa,132322nnnnnnbsaa。评析:本题中的错误在于误认为1n时11223nnnaa成立,造成错误的原因在于没有注意1nnnass成立的条件是2n。实际上只有有2n时11223nnnaa...