高三数学数列求和的几种方法、数列的实际应用问题(文)人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容:数列求和的几种方法、数列的实际应用问题二.教学难点:数列的实际应用问题三.课标要求:1.探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法;2.能在具体的问题情境中,发现数列的通项和递推关系,并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题.四.命题走向:数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位,一般情况下都是出一道解答题,解答题大多以数列为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,这些题目都考查考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,它们都属于中、高档题目.有关命题趋势:1.数列是一种特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具,三者的综合题是对基础和能力的双重检验,在三者交汇处设计试题,特别是代数推理题是高考的重点;2.数列推理题将继续成为数列命题的一个亮点,这是由于此类题目能突出考查学生的逻辑思维能力,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度;3.数列与新的章节知识结合的特点有可能加强,如与解析几何的结合等;4.有关数列的应用问题也一直备受关注.【教学过程】一、基本知识回顾1.数列求通项与和(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式:an=.(2)求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1.③归纳、猜想法.(3)数列前n项和①重要公式:等差和等比数列的求和公式1+2+…+n=n(n+1);12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1);用心爱心专心13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2;②裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:、=-等.③错位相减法(可用于推导等比数列前n项和公式)对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错位相减法.,其中是等差数列,是等比数列,记,则,…④分组转化求和把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.⑤倒序相加法(可用于推导等差数列前n项和公式)2.递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系.由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列.如由an+1=2an+1,及a1=1,确定的数列即为递归数列.递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:(1)归纳、猜想.(2)迭代法.(3)代换法.包括代数代换,对数代数,三角代数.(4)作新数列法.最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.【典型例题】例1.已知数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,求和:.解:首先考虑,则=.点评:已知数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,下列求和也可用裂项求和法.例2.求.解:,用心爱心专心点评:裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些.例3.设,利用课本中推导等差数列前n项和的方法,可求得的值为____________解:课本中推导等差数列前n项和的方法为倒序相加法.因为所以原式=6=点评:本题曾为上海高考题,主要考查考生对课本的熟练程度和倒序相加法的应用,其中有函数式子的变化,计算能力的考查.例4.已知,数列是首项为a,公比也为a的等比数列,令,求数列的前项和.解:,①-②得:,新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评:设数列是等比数列,数列是等差数列,则对数列的前项和进行求解,均可用错位相减.例5.数列…的前多少项和为最大?解:是以为首项,以为公差的等差数列,用心爱心专心对称轴比较起来更靠近对称轴∴前项和为最大新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆另...