全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。下面从六个方面加以阐述：1.三角形的“四心”定理的平面几何证明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要条件及其证明；3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4.欧拉线的4种证法；5.与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；6.练习题.1.三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．2.三角形的“四心”定理的平面向量表达式及其证明①是的重心(其中用心爱心专心P12PP3OP是三边)证明：充分性是的重心若，则，以，为邻边作平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线，所以，为的重心。必要性：是的重心如图，延长交于，则为的中点，由重心的性质得. ∴②点是的垂心证明：是的垂心,同理故当且仅当.③点是的外心．证明：O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点)④是的内心。(其中用心爱心专心P12PP3OPABCDO是三边)证明：充分性：是的内心=所以，而，分别是，方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到点是的内心。必要性：是的内心若点O为的内心，延长交23PP于，由三角形内角平分线的性质定理，有，于是再由，有（定比分点）代入前式中便得.必要性证法二：设O是ABC内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。并设AOC,AOB).sinr,cosr(C),sinq,cosq(B),0,p(A其中显然OC,OB不共线，由平面向量基本定理，可设),Ry,x(OCyOBxOA则用心爱心专心)sin(rsinpy)sin(qsinpxsinyrsinxq0cosyrcosxqp解得OCsinpqOBsinprOA)sin(qr0OCSOBSOASOCSOBSOAS)sin(BOCsin),(2BOC,AOC,AOBAOBAOCBOCAOBAOCBOC即（ⅰ）若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或必要性得证．同时还可得到以下结论（ⅱ）若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA（ⅲ）若O是ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin（ⅳ）若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCtanOBBtanOAAtan证明：（A、E、O、F四点共圆）同理因此只需证先证第一个等式用心爱心专心OFEDCBA（E、C、D、O四点共圆,为的补角；E、O、F、A四点共圆,为的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。评注：一箭四雕，需要提醒的是，这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件，充分性并未证明。3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤为△ABC的重心(P是平面上任意点)...
