高三数学一轮复习 第八章 立体几何 第六节 立体几何中的向量方法夯基提能作业本 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第六节立体几何中的向量方法A组基础题组1.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的动点(不包括端点),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PBQ⊥平面PAD;(2)若M为棱PC的中点,求异面直线AP与BM所成角的余弦值.3.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.B组提升题组4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.点E,F分别为侧棱PB,PC上的点,且==λ(λ≠0).(1)求证:EF∥平面PAD;(2)当λ=时,求异面直线BF与CD所成角的余弦值;(3)是否存在实数λ,使得平面AFD⊥平面PCD?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.5.(2016天津,17,13分)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=t,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0,解得t=或t=-(舍去).于是=(-,3,-3),=(,1,0).因为·=-3+3+0=0,所以⊥,即AC⊥B1D.(2)由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,则即令x=1,则n=(1,-,).设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sinθ=|cos|===.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.2.解析(1)证明:因为AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,所以BC􀱀DQ,所以四边形BCDQ为平行四边形.所以CD∥BQ.因为∠ADC=90°,所以∠AQB=90°,即BQ⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BQ⊂平面ABCD,所以BQ⊥平面PAD.因为BQ⊂平面PBQ,所以平面PBQ⊥平面PAD.(2)因为PA=PD,Q为AD的中点,所以PQ⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0).因为M是PC的中点,所以M,所以=(-1,0,),=.设异面直线AP与BM所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|==,所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为.3.解析(1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO==4.由EF∥AC得==.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.(4分)又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(5分)(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).(6分)设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则即所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则即所以可取n=(0,-3,1).(10分)于是cos===-.sin=.因此二面角B-D'A-C的正弦值是.(12分)B组提升题组4.解析(1)证明:因为==λ(λ≠0),所以EF∥BC.因为BC∥AD,所以EF∥AD.而EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)因为平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABCD.则PA⊥AB,PA⊥AD.又AB⊥AD,故PA,AB,AD两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).当λ=时,F为PC的中点,故F,=,又=(-1,1,0),设异面直线BF与CD所成的角为θ,则cosθ=|cos<,>|==,故异面直线BF与CD所成角的余弦值为.(3)存在.设F(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0-2),又=(1,1,-2),则由=λ,得(x0,y0,z0-2)=λ(1,1,-2),所以则=(λ,λ,2-2λ).设平面AFD的法向量为n1=(x1,y1,z1),因为=(λ,λ,2-2λ),=(0,2,0),所以令z1=λ,得n1=(2...