江苏省仪征中学2016—2017学年度高三10月限时训练数学试卷（附加题）21．已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．22．若的展开式中项的系数为20，求的最小值。23．设为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，为这两条棱所成的角（规定平行的棱所成的角为0）．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望E()．24．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.参考答案21.解：设特征向量为α＝对应的特征值为λ，则＝λ，即因为k≠0，所以a＝2．………………5分因为A－1＝，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝1．综上，a＝2，k＝1．……10分22、23、解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，其中“”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法;②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以；……4分（2）依题意，的所有可能取值为0，，，“”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法；所以；……6分从而，……8分所以的分布列为：数学期望E()．……10分24、解析：（I）由题意知，设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得.所以抛物线C的方程为.（II）（ⅰ）由（I）知，设，因为，则，由得，故，故直线AB的斜率为，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得.设，则，.当时，，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16.
