2.1平面直角坐标系中的基本公式自我小测1．若在直线坐标系中，有两点A(5)，B(－2)，且AB＋CB＝0，则点C的坐标为()A．－5B．－3C．－9D．32．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x等于()．A．0B．－C．D．0或－3．已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不是()A．(9，－4)B．(1,8)C．(－3,0)D．(1，－3)4．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．4B．C．D．5．已知A(1,3)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|PB|的最小值为()A．6B．C．D．6．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60km，AE＝CD＝30km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中P1，P2，P3，P4是AC的五等分点，则转播台应建在()．A．P1处B．P2处C．P3处D．P4处7．在直线坐标系中有点A(1)，若点A负向移动3个单位长度到达点B，则AB＝______．向量与以B点为起点，终点坐标为__________的向量是相等向量．8．已知▱ABCD的三个顶点A(0,0)，B(x1，y1)，D(x2，y2)，则顶点C的坐标为________．9．使得|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为__________．10．已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求CE，DE，AF，DF的长度．11．如图所示，△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形，求证：|AE|＝|CD|．12．河流的一侧有A，B两个村庄，如图所示，计划在河上共建一座水电站给两村供电．已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300m和600m，且两村相距500m．为了使水电站到两村的距离之和最小，水电站P应建在什么位置？参考答案1．答案：C2．解析：因为|PA|＝2|PB|，所以|x＋8|＝2|x＋4|，解得x＝0或－．答案：D3．解析：设第四个顶点的坐标为(x，y)，然后分情况讨论．(1)若点(3，－2)，(5,2)为平行四边形的对顶点，则有＝，＝，解得x＝9，y＝－4，即(9，－4)；(2)若(5,2)，(－1,4)为对顶点，同理可求第四个顶点为(1,8)；(3)若(3，－2)，(－1,4)为对顶点，同理可求第四个顶点为(－3,0)．故应选D．答案：D4．解析：因为点C为AB的中点，所以解得故P(4,1)，|OP|＝．答案：D5．解析：如图，作点A(1,3)关于x轴的对称点A′(1，－3)，连接A′B交x轴于点P．可知|A′B|即为|AP|＋|PB|的最小值，而|A′B|＝＝．故|AP|＋|PB|的最小值为．答案：B6．解析：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则P4(6,6)，P3(12,12)，P2(18,18)，P1(24,24)．设转播台的坐标为P(x，y)，则PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2－(120＋120)x＋5y2－(120＋120)y＋2×602＋4×302，故当x＝24，且y＝24时PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2最小，故P应在P1处．答案：A7．解析：由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点，所以B点坐标为－2，则向量的坐标为－3，若以B点为起点的向量为－3，则终点坐标应为－5．答案：－3－58．解析：由于▱ABCD的各顶点的顺序已经确定，因此点C的坐标是唯一确定的．根据平行四边形的性质——对角线互相平分，再根据中点坐标公式，即可求出点C的坐标．设顶点C的坐标为(m，n)，AC与BD的交点为O，则O为AC和BD的中点，根据题意得点O的坐标为，又因为点O为AC的中点，所以＝，＝，解得m＝x2＋x1，n＝y2＋y1，所以点C的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．答案：(x1＋x2，y1＋y2)9．解析：设函数y＝|x－3|＋|x＋1|，因为函数y＝|x－3|＋|x＋1|的最小值为4，即y≥4，所以使|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立a的取值范围为a≤4．答案：a≤410．解：设线段AB的中点为E(x，y)，则x＝＝－1，y＝＝4，则d(E，C)＝＝，d(E，D)＝＝．即CE，DE的长度分别为，．设线段BC的中点为F(m，n)，则m＝＝4，n＝＝4，则d(F，A)＝＝，d(F，D)＝＝，即AF，DF的长度都为．11．证明：以B为原点，以直线AC为x轴建立平面直角坐标系，设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，则有A(－a,0)，C(c,0)，D，E．于是|AE|＝＝＝，|CD|＝＝＝，所以|AE|＝|CD|．12．解：如图所示，以河边所在直线为x轴，以AC为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,300)，B(400,600)．设A关于x轴的对称点为A′，则A′(0，－300)，连接A′B交OD于点P，此时|PA|＋|PB|最小．设|OP|＝x，则由△OA′P∽△DBP得＝．解得x＝，故水电站P应建在C，D之间距离点Cm的地方．
