【优化课堂】2016秋高中数学1.7.2柱、锥、台的体积练习北师大版必修2[A基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为()A．3πB．πC.πD．π解析：选B．设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝·2R＝R，所以·2R·R＝，解得R＝1.所以V＝×π×12×＝π.2．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为()A．8cmB．80cmC．40cmD．cm解析：选B．设正四棱柱的高为hcm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．3.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为()A.B．C．1D．解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V＝××1＝.4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A.B．C.D．或解析：选D．当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝，底面面积S＝a2＝，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝，底面面积S′＝a′2＝，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝.所以正三棱柱的体积为或.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－D．8－解析：选B．这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－×π×12×2×2＝8－π.故选B．6．一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.答案：7．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h＝＝1，故体积V＝π·(22＋2×1＋12)×1＝.答案：8．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4169．四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C(2，1)，D(0，3)，所以圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.所以V圆锥＝πr2h＝π×22×2＝π.因为B(1，0)，C(2，1)，所以圆台的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1.所以V圆台＝πh′(R2＋R′2＋RR′)＝π×1×(22＋12＋2×1)＝π，所以V＝V圆锥＋V圆台＝5π.10．一几何体的三视图如图：(1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5cm，作BD⊥AC于D，则BD＝cm，得S底＝5××＝6(cm2)，高h＝6cm，得V＝×6×6＝12(cm3)．[B能力提升]1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2πB．3πC．5πD．7π解析：选B．由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V＝×π×12×4＝3π.2．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πh.根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，所以h＝a.答案：a3.如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa.证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A′ABC的体积是V，而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，所以三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa.法二：如图所示，将三棱柱ABCA′B′C...
