【优化课堂】2016秋高中数学1.6.1垂直关系的判定练习北师大版必修2[A基础达标]1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．斜交C．平行D．不能确定解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A正确．2．以下命题正确的是()①⇒a⊥β；②⇒b∥α；③⇒b⊥α.A．①B．①③C．②③D．①②解析：选A.①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．3.如图，已知正方形ABCD所在平面外有一点M，如果MC⊥平面ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直异面D．相交但不垂直解析：选C.因为MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以MC⊥BD．又BD⊥AC，AC∩MC＝C且AC，MC在平面ACM内，所以BD⊥平面ACM.又AM平面ACM，所以BD⊥MA，但BD与MA不相交．4．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1BDC的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A.如图，连接AC交BD于O，连接C1O.因为AB＝AD，所以底面为正方形，所以AC⊥BD．又因为BC＝CD，所以C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD．所以∠C1OC就是二面角C1BDC的平面角．则在△C1OC中，CC1＝，CO＝＝，tan∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°.5.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是()A．4B．6C．7D．8解析：选D．容易证得PA⊥BC，又AD⊥BC，PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAD，从而图中：△ABC，△PAB，△PAC，△PAD，△ABD，△ACD，△PBD，△PCD均为直角三角形．共有8个．6．已知PA垂直于▱ABCD所在平面，若PC⊥BD，则▱ABCD的形状是________．解析：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以▱ABCD一定是菱形．答案：菱形7.如图，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CDα，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CDβ，则有EB⊥CD．又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB．又因为AB平面AEB，所以CD⊥AB．答案：CD⊥AB8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正确命题的序号是________．解析：在这个空间图形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.因为EF平面ABC，BC平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.10．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，∠APB＝∠APC＝90°.(1)求证：PB⊥平面PAC；(2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥平面ABC.证明：(1)如图，由题设易得AB＝AC，因为∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC.因为PA＝PB＝PC，所以△PAB≌△PBC，所以∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.又PB⊥PA，PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC.(2)取BC的中点D，连接AD，PD，因为PB＝PC，所以PD⊥BC.同理可得AD⊥BC，PD∩AD＝D，所以BC⊥平面PAD．因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.[B能力提升]1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有()A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B．由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD．又ABCD为正方形，CD⊥AD，因为PA⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD...
