高一数学数学归纳法及其应用【本讲主要内容】数学归纳法及其应用数学归纳原理的科学性，数学归纳法的证明步骤，数学归纳法的应用举例．【知识掌握】【知识点精析】1.归纳法：对特殊情况加以研究而得出一般规律的方法叫归纳法．它分为不完全归纳法和完全归纳法．由部分特殊情况而得出的一般规律的方法叫不完全归纳法，对全部（有限的）特殊情况加以研究而得出的一般规律的方法叫完全归纳法．例如：①观察下列式子：6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7＝5＋5，12＝5＋7，14＝3＋11＝7＋7，20＝3＋17＝7＋13．归纳：每个大于或等于6且小于或等于20的偶数可表示为两个奇素数的和．这里采用的是完全归纳法．结论正确．②在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1＝al＋0·d，a2＝a1＋1·d，a3＝al＋2·d，a4＝a1＋3·d，…，an＝?归纳：an＝a1＋（n－1）d．这里采用的是不完全归纳法．结论正确．（这个结论的正确性，后面我们将给出证明）③由数列的通项公式得归纳：，但，这里采用的是不完全归纳法，结论不正确说明：完全归纳法得出的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论不一定正确，但通过对问题进行探索而提高数学能力十分重要．2.数学归纳法：是证明与正整数n有关的命题的一种方法．它的奇妙之处在于能够归纳出无穷多个特殊情况，从而得出一般结论．数学归纳法证明的步骤如下：①证明当取第一个时结论正确；（归纳基础）②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立．（递推依据）③根据①、②可知对于任意命题正确．（下结论）例如，我们用数学归纳法证明：如果数列{an}是一个等差数列，那么an＝a1＋（n－1）d对一切都成立．证明：（1）当n＝1时，左边＝a1，右边＝a1＋0·d＝a1，等式成立．（2）假设n＝k时等式成立，即ak＝a1＋（k－1）d那么ak＋1＝ak＋d＝a1＋[（k－1）d＋d]＝a1＋[（k＋1）－1]d．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由（1）和（2）可知，等式对一切都成立．说明：数学归纳法是专门证明与自然数集有关命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”；第二步解决的是延续性问题（又称传递性）．运用数学归纳法证明有关命题需注意以下几点：（1）两个步骤缺一不可：例如，若对等差数列{an}的通项错误地归纳为an＝（n－1）d，则第二步的证明如下：假设n＝k时等式成立，即用心爱心专心ak＝（k－1）d，那么ak＋1＝ak＋d＝（k－1）d＋d＝[（k＋1）－1]d．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．但当n＝1时，a1＝0，显然，并非所有等差数列{an}的首项都为0，推理就失去了基础，不能证明结论的正确性．（2）在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数，证明应视具体情况而定；（3）第二步证明时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；（4）证明成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．我们可用数学归纳法来证明与正整数有关的等式及不等式问题，尤其是用其他方法难以下手时才用数学归纳法往往有效．【解题方法指导】例1．用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…（2n－1）＝n2[分析]①1＋3＋5…＋（2n－1）＝n是由无数命题组成：1号命题：1＝12号命题：1＋3＝2……k号命题：1＋3＋5＋…＋（2k－1）＝kk＋1号命题：1＋3＋5＋…＋（2k－1）＋（2k＋1）＝（k＋1）②怎样验算n＝1时，等式成立?③如何实现n＝k到n＝k＋1的过渡?④得到什么式子才能称n＝k＋1时等式成立?⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．（2）假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…（2k－1）＝k2那么1＋3＋5＋…（2k－1）＋[2（k＋1）－1]＝k2＋[2（k＋1）－1]＝k2＋2k＋1＝（k＋1）2这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由（1）和（2）可知，等式对任何都成立．例2．用数学归纳法证明：＋能被14整除．[分析]＋＝＋，而9＋5＝14，将其一般化，即：能被x＋y整除．下面我们先证能被x＋y整除．证明：（）当n＝1时，，...
