垂径定理本课内容本节内容2
3动脑筋在下图的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E
试问：AE与BE，与，与分别相等吗
AC︵BC︵BD︵AD︵因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如下图，我发现AE与BE重合，，分别与重合，即AE=BE，=，=AC︵BC︵BD︵AD︵AC︵BC︵AD︵
BD︵从而∠AOC=∠BOC
下面我们来证明这个结论
在下图中，连接OA，OB
∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形
∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD
AC︵，BC︵AD︵
BD︵==∴结论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
结论由此得到垂径定理：举例如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长
例1解连接OA
设OA=rcm，则OE=r-2（cm）
∵CD⊥AB，由垂径定理得2ABAE==4（cm）
在Rt△AEO中，由勾股定理得+
222OA=OEAE解得r=5
∴CD=2r=10（cm）
22(-2)4r=r+举例证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等
已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行
求证：=例2AC︵
BD︵证明作直径EF⊥AB，
AEBE︵︵∴又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD
CEDE︵︵∴，AECEBEDE︵︵︵︵因此
ACBD︵︵即练习如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长
∵AB是直径，∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，AC=8cm，AB=10cm，∴BC=6cm
又∵OD⊥BC，13cm
2BD=BC=∴解结束
