垂径定理本课内容本节内容2.3动脑筋在下图的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.试问：AE与BE，与，与分别相等吗？AC︵BC︵BD︵AD︵因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如下图，我发现AE与BE重合，，分别与重合，即AE=BE，=，=AC︵BC︵BD︵AD︵AC︵BC︵AD︵.BD︵从而∠AOC=∠BOC.下面我们来证明这个结论.在下图中，连接OA，OB.∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形.∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD.AC︵，BC︵AD︵.BD︵==∴结论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.结论由此得到垂径定理：举例如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.例1解连接OA.设OA=rcm，则OE=r-2（cm）.∵CD⊥AB，由垂径定理得2ABAE==4（cm）.在Rt△AEO中，由勾股定理得+.222OA=OEAE解得r=5.∴CD=2r=10（cm）.即.22(-2)4r=r+举例证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行.求证：=例2AC︵.BD︵证明作直径EF⊥AB，.AEBE︵︵∴又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD..CEDE︵︵∴，AECEBEDE︵︵︵︵因此.ACBD︵︵即练习如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中，AC=8cm，AB=10cm，∴BC=6cm.又∵OD⊥BC，13cm.2BD=BC=∴解结束
