切线长定理 ()VIP免费

直线与圆的位置关系本课内容本节内容2.5——2.5.3切线长定理如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上的点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB.你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？说一说经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.如上图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长.探究在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？我把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合.即PA=PB，∠APO=∠BPO.∴∠PAO=∠PBO=90°，即△PAO和△PBO均为直角三角形.由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.下面我们来证明这个猜测是真的.如图，连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴Rt△PAORt△△PBO.又∵OA=OB，OP=OP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.结论过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.由此得到切线长定理：如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证：CO∥BD.举例例5分析连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD=90°，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可.连接AB.∵CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点，∴CA=CB，∠ACO=∠BCO.∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，即BD⊥AB.∴CO∥BD.证明1.如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C.设半圆O的半径为2，AB为5，求四边形ABCD的周长.练习解∵AD、AE分别与⊙O相切，∴AD=AE.同理，BE=BC.∴四边形ABCD的周长=AD+AE+EB+BC+DC=2AB+DC=2×5+2×2=14.2.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP=4，PA=，求∠AOB的度数.练习23∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，OB⊥BP.∴∠AOP=∠BOP.在Rt△OAP中，cos∠APO=∴∠APO=30°.∴∠AOP=60°.∴∠AOB=2∠AOP=120°..32APOP解结束