直线与圆的位置关系本课内容本节内容2.5——2.5.3切线长定理如图,将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上的点A,另一条直角边过圆心O,然后作直线PA,则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB.你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗?说一说经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长.如上图,线段PA,PB的长度是点P到⊙O的切线长.探究在透明纸上画出下图,设PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,沿直线OP将图形对折,你发现了什么?我把图形沿直线OP对折后,发现线段PA与线段PB重合,∠APO与∠BPO重合.即PA=PB,∠APO=∠BPO.∴∠PAO=∠PBO=90°,即△PAO和△PBO均为直角三角形.由此我们猜测:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.下面我们来证明这个猜测是真的.如图,连接OA,OB.∵PA,PB是⊙O的切线,∴Rt△PAORt△△PBO.又∵OA=OB,OP=OP,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.结论过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.由此得到切线长定理:如图,AD是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA和CB是⊙O的切线,A和B是切点,连接BD.求证:CO∥BD.举例例5分析连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD,只要证CO⊥AB即可.连接AB.∵CA,CB是⊙O的切线,点A,B为切点,∴CA=CB,∠ACO=∠BCO.∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,即BD⊥AB.∴CO∥BD.证明1.如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC相切,切点分别为D,E,C.设半圆O的半径为2,AB为5,求四边形ABCD的周长.练习解∵AD、AE分别与⊙O相切,∴AD=AE.同理,BE=BC.∴四边形ABCD的周长=AD+AE+EB+BC+DC=2AB+DC=2×5+2×2=14.2.如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,点A,B为切点,若OP=4,PA=,求∠AOB的度数.练习23∵PA、PB是⊙O的切线,∴∠APO=∠BPO,OA⊥AP,OB⊥BP.∴∠AOP=∠BOP.在Rt△OAP中,cos∠APO=∴∠APO=30°.∴∠AOP=60°.∴∠AOB=2∠AOP=120°..32APOP解结束