第6练导数的应用【理】一.强化题型考点对对练1.（导数与函数的单调性）已知函数的定义域为,为函数的导函数，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A．B．C.D．【答案】B即，故选B.2.（导数与函数的单调性）【2018届湖北省重点高中联考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，∴. 函数在单调递增，∴在上恒成立，即在上恒成立.令，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减.∴.∴.选C.3.（导数与函数的极值与最值）设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C4.（利用导数求参数的取值范围）【2018届黑龙江省大庆实验中学期中】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设，，时，，在上递增，，设，，在上递增，在递减，且时，总有，画出，两函数的简图，如图，由图知，要使对任意的，总存在唯一的，使得成立，则，即实数的取值范围是，故选B.5．（导数与函数零点相结合）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是．(为自然对数的底数)【答案】6.（导数与函数的极值与最值）【2018届华大新高考联盟联考】若函数满足，则当时，（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值【答案】C7(导数的综合应用)设函数，其中，，是自然对数的底.（1）求证：函数有两个极值点；（2）若，求证：函数有唯一零点.【解析】（1）.令，其中，，求导得：.令，得.当上，，递减，当上，，递增.故当时，取极小值，也是最小值.因为，所以，又，所以，因此在上有唯一零点.注意到，所以，，以下证明：.注意到上述不等式，令，则，所以在上递减，所以，即，因此在上有唯一零点.所以时，，，递增；时，，，递减；时，，，递增；综上所述，函数有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点.（2）由（1）函数的极小值为.因为，所以，所以.以下先证：的极小值.，因为，所以，，所以，又，所以，于是，所以.再证：存在，使.取，因为，所以.综上可知，函数有唯一零点.8.(导数的综合应用)【2018届安徽省马鞍山联考】已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，，.9.（导数的综合应用）已知函数.（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（2）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，再取，则，故在上单调递增，而，故在上存在唯一实数根，故时，；时，，故，故.二.易错问题纠错练10.（不能灵活转化而致错）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】C【注意问题】函数在某个区间单调递减，导数值不一定都为负，可能在某些不连续点出导数值为0，但是不影响整个函数的单调性.11.（目标与已知条件不能联系而致错）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，所以是上的减函数，由于为奇函数，所以，因为即，结合函数的单调性可知，所以不等式的解集是，故选B.【注意问题】利用单调性解抽象不等式时，关键要密切结论与已知条件的联系，通过构造合适的函数来求解.三.新题好题好好练12．已知为定义在的函数的导函数，对任意实数，都有，则不等式的解集为___________．【答案】13．【2018届高三广东省阳春市一中第三次月考】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，可得在恒成立，即为，当时，2显然成立；当时，有，可得设由时，，则在递减，且，可得；当时，有，可得，设由时，在递减，由时，在递增，即有在处取得极小值，且为最小值，可得，综上可得．故选B．14．已知是函数（，）的一个极值点，则函数的增区间为___________．【答案】15．若函数的图象恒在轴上方，则实数的取值范围___________．【答案】【解析】当时，取，则，不合题意；当时，，则在区间上，，在区间上，，∴的最小值为...
