第二章2.22.2.31．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0解析：注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得b＝λa，即λa－b＝0，符合题意，故选D.答案：D2.4(a－b)－3(a＋b)－a＝()A．a－bB．－7bC．a－5bD．b解析：由向量数乘的运算律可得4(a－b)－3(a＋b)－a＝－7b.故选B.答案：B3．D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，设AB＝a，AC＝b，则AD等于()A.(a－b)B.(b－a)C.(2a＋b)D.(2b－a)解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选C.答案：C4．设e1、e2是两个不共线向量，b＝e1＋λe2(λ∈R)，a＝2e1－e2，若a、b共线，则λ＝________.解析：由向量共线定理知，存在实数k，满足b＝ka，即e1＋λe2＝2ke1－ke2，∴∴答案：－5．已知M是△ABC的边BC上的中点，若AB＝a，AC＝b，则MA＝________.解析：如图，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，由向量加法的平行四边形法则，AD＝AB＋AC＝a＋b.由M是△ABC的边BC上的中点知，M为AD的中点．所以AD＝2AM，故MA＝－AM＝－(a＋b)．答案：－(a＋b)6.1如图所示，四边形OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用向量a，b表示OM，ON，MN.解：∵BM＝BC＝BA＝(OA－OB)＝(a－b)，∴OM＝OB＋BM＝b＋a－b＝a＋b.∵CN＝CD＝OD，∴ON＝OC＋CN＝OD＋OD＝OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)，MN＝ON－OM＝(a＋b)－a－b＝a－b.(时间：30分钟满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍难数乘定义及几何意义53、89向量的线性运算189、10共线向量定理的应用24、67、9、10一、选择题(每小题4分，共16分)1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于()A．2aB．－2aC.aD．－a解析：由题知3x－2x＋2a＝0，∴x＝－2a.答案：B2．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且d与c反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且d与c反向解析：由c∥d，得c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)即∴即c＝－a＋b且c＝－d.答案：D3．若O为▱ABCD的中心，AB＝2e1，BC＝3e2，则e2－e1＝()A．BOB．AOC．BOD．DO解析：∵BD＝AD－AB＝BC－AB＝3e2－2e1，BO＝BD，∴BO＝(3e2－2e1)＝e2－e1.故选A.答案：A4．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：AB＝a＋2b，CD＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以AB与CD不共线，所以AB与CD不平行．又AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b，显然AD＝2BC，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形，故应选A.答案：A二、填空题(每小题4分，共12分)25．如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE＝3EB，设AB＝a，AC＝b，则AE＝________(用a、b表示)．解析：∵CE＝3EB，∴BE＝BC.又∵BC＝AC－AB，∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b.答案：a＋b6．已知e1，e2不共线，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝______.解析：由于a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，所以＝，所以3k2＋5k－2＝0.解得k＝－2或.答案：－2或7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________________.解析：设AB＝a，BC＝b，则AF＝a＋b，AE＝b＋a，AC＝a＋b，所以AC＝λAE＋μAF＝λ＋μ＝b＋a＝a＋b.又a，b不共线，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝，故填.答案：三、解答题8.(10分)如图，已知OA和OB是不共线向量，AP＝tAB(t∈R)，试用OA、OB表示OP.解：OP＝OA＋AP＝OA＋tAB＝OA＋t(OB－OA)＝(1－t)OA＋tOB.9．(10分)如图所示，已知△AOB中，点C与点B关于点A对称，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．解：(1)由题意，A是BC的中点，且OD＝OB，由平行四边形法则，OB＋OC＝2OA.∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)EC∥DC.又∵EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，∴＝，∴λ＝.310．(12分)已知△ABC中，AB＝a，AC＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP＝OA＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过某一个定点？说明理由．解：以AB、AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD、BC交于点E，AE＝AD＝(a＋b)．由OP＝OA＋λa＋λb得到OP－OA＝AP＝2λ·(a＋b)＝2λAE，λ∈[0，＋∞)，∴AP与AE共线．由λ∈[0，＋∞)知道动点P的轨迹是射线AE，所以必过△ABC的重心．4
