高中数学等差数列的前n项和人教版第一册VIP专享VIP免费

等差数列的前n项和●教学目标（一）教学知识点等差数列前n项和公式：Sn=dnnnaaann2)1(2)(11.(二)能力训练要求1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.（三）德育渗透目标1.提高学生的推理能力.2.增强学生的应用意识.●教学重点等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.●教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.●教学方法启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.●教具准备幻灯片一张：记作§3.3.1A例:如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）an－an－1=d(n≥1)，d为常数.（2）若a，A，b为等差数列，则A=2ba.（3)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均为正整数）Ⅱ.讲授新课［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.（打出幻灯片§3.3.1A）这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，……用心爱心专心第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×2100=5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an,①把项的次序反过来，Sn又可写成Sn=an+an－1+…+a1②①+②2Sn=(a1+an)+(a2+an－1)+…+(an+a1)又 a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2Sn=n(a1+an),即：Sn=2)(1naan若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d②],把①、②两边分别相加，得2Sn=个nnnnaaaaaa)()()(111=n(a1+an),即：Sn=2)(1naan.由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn=2)(1naan.也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S100=2)1001(100=5050.又 an=a1+(n－1)d,∴Sn=2)(1naan=2])1([11dnaan=na1+2)1(nnd∴Sn=2)(1naan或Sn=na1+2)1(nnd有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？（打出幻灯片§3.3.1A）［师］分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1=1,a120=120,n=120.用心爱心专心［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120.则：S120=2)1201(120=7260答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可知：a1=－10,d=(－6)－(－10)=4，Sn=54由等差数列前n项求和公式可得：－10n+2)1(nn×4=54解之得：n1=9,n2=－3(舍去)答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.Ⅲ.课堂练习［生］练习课本P120练习1，2，3.1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的...